浙江师范大学《高等数学》D11_3格林公式.pptVIP

内容小结 思考与练习 2. 设 备用题 1. 设 C 为沿 2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 3. 已知曲线积分 从点 依逆时针 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 = 到点 点B(3, 4), 到原点的距离, 解: 由图知 故所求功为 锐角, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用, 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 格林公式及其应用 第十一章 三、二元函数的全微分求积 一、格林公式 在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式 ： 表示: 在区间[a,b]上的积分可以通过它的原函数 在这个区间端点上的值来表达。 格林公式:在平面闭区域D上的二重积分可以通过 沿闭区域D的边界曲线 L 上的曲线积分来表达。 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 复连通区域 ( 有“洞”区域 ) 规定域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 D内任一闭曲线所围的部分都属于D 当观察者沿着L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边. l L的正向是逆时针方向. l的正向是顺时针方向. 定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有 其中L是D的取正向的边界曲线. 公式（1）叫做格林公式. （1） 注意哦 对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向。 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 则由二重积分计算法有： 由对坐标的曲线积分的性质及计算方法有： 即 ① 同理可证 ② ①、②两式相加得: 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 证毕 相加时沿辅助线来回的曲线积分相互抵消 格林公式对于由分段光滑曲线围成的闭区域都成立. 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 格林公式 取 P=-y，Q=x, 即得 上式的左端是闭区域 D 的两倍，因此有： 对于复连通区域D，格林公式右端应包含沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向. 格林公式的一个简单应用： 例1.计算 其中L是正向圆周 解: 令 则 利用格林公式 , 得 例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 利用格林公式 , 有 例3 求椭圆 所围面积 例4. 计算 其中L为一条无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 设 L 所围区域为D, 由格林公式知 对于连续曲线L，除了端点外，所有的点总是相异的，. 在D 内作圆周 取逆时 针方向, , 对区域 应用格 记 L 和 l ˉ 所围的区域为 林公式 , 得 设 G 是一个开区域，且 P (x,y) , Q(x,y) 在G内具有一阶连续偏导数。如果对于 G 内任意指定的两个点 ： 以及 G 内从点 A 到点 B的 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 任意两段曲线 L1，L2,等式： 恒成立，则称 曲线积分 在 G 内与路径 无关，否则就称该曲线积分与路径有关. G 此时，从 A 到 B 的曲线积分可记为 或 G 此时 则有： 定理2. 设G 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (1) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下三个条件等价: (1) 定理中的等价关系是建立在单连通区域内的，并且要求 P (x,y) ,Q(x,y)