浙江师范大学《高等数学》D12_2常数项级数的审敛法.pptVIP

一、正项级数及其审敛法 定理2 (比较审敛法) 推论：设 例1. 讨论 p 级数 2) 若 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 例2. 定理3. (比较审敛法的极限形式) 例3. 判别级数 定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) (2) 当 例5. 讨论级数 例6. 证明级数 例7. 判断级数 定理6 . 极限审敛法 例7. 判定级数 例8. 判定级数 二 、交错级数及其审敛法 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 三、绝对收敛与条件收敛 定理8. 绝对收敛的级数一定收敛 . 例9. 证明下列级数绝对收敛 : 内容小结 3. 任意项级数审敛法 思考与练习 备用题 2. (2) 令 因此 收敛, 绝对收敛. 2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数 收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 作业 P271 1 (3), (5) ; 2 (2), (4) ; 4 (3), (5), (6) ; 5 (2), (5) 设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 . 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十二章 若 定理 1. 正项级数 收敛 部分和数列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 有界, 故 从而 又已知 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 设 且 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 证: 的部分和 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 是两个正项级数, （1）设级数 收敛于σ，则级数 即部分和数列{Sn}有界，由定理1知级数 收敛. 因为若级数 由上面已经证明的结论，将有级数 必发散. （2）设级数 发散，则级数 收敛. 也收敛，与假设矛盾. 成立，那么级数 都是正项级数, 收敛，且存在正整数N，使当 成立，那么级数 （2）如果级数 发散，且当n≥N时有 （1）如果级数 n≥N时有 级数的每一项同乘不为零的常数k不影响级数的收敛性. (常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 这时级数的各项不小于调和级数的 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 对应项： 因为当 故 考虑级数 的部分和 故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 对一切 证明级数 发散 . 证: 因为n(n+1)(n+1)2，所以 而级数 是发散的. 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l ∞ 时, 由定理 2推论 同时收敛或同时发散 ; (3) 当l = ∞时, 即 由定理2可知, 若 发散 , (1) 当0 l ∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 推论 收敛 , 若 2) 特别取 可得如下结论 : 对正项级数 注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 是两个正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 且 收敛时, (3) 当 且 发散时, 也收敛 ; 也发散 . ～ 的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知 定理3. (比较审敛法的极限形式) 则有 两个级数同时收敛或发散 ; 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l ∞ 时, 的敛散性. 例4. 判别级数 解: 根据比较审敛法的极限形式知 ～ 两个级数同时收敛或发散 . 当 0 l ∞ 时, 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散; 由比较审敛法可知 因此 所以级数发散. 时 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而 的敛散性 . 解: 根据定理4可知: 级数收敛 ; 级数发散 ; 收敛. 证明: 由