浙江师范大学《高等数学》D10_3三重积分.pptVIP

3. 设? 由锥面 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三重积分 第十章 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 定义. 设 存在, 称为体积元素, 若对 ? 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在? 上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似. 性质: 例如 下列“乘 中值定理. 在有界闭域 ? 上连续, 则存在 使得 V 为? 的 体积, 积和式” 极限 记作 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 方法1. 投影法 (“先一后二” ) 该物体的质量为 细长柱体微元的质量为 记作 如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S相交不多于两点，也可将闭区域Ω投影到yoz面上或者xoz面上，把三重积分化为按其他顺序的三次积分. 注意： 如果平行于坐标轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S的交点多于两个，也像处理二重积分那样，把Ω分成若干部分，使Ω上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和. 方法2. 截面法 (“先二后一”) 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 记作 投影法 方法3. 三次积分法 设区域 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得: 小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” 具体计算时应根据 三种方法(包含12种形式)各有特点, 被积函数及积分域的特点灵活选择. 其中? 为三个坐标 例1. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 例2. 计算三重积分 解: 用“先二后一 ” 2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 其中? 例3. 利用柱面坐标计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 是由曲面 与平面 把闭区域?投影到xoy面上,得半径为2的圆形闭区间 在Dxy内任取一点 过此点作平行于Z轴的直线,此 直线通过曲面 穿入?内,然后通过平面 穿出?外,因此闭区域? 可用不等式 来表示 其中? 为 例4. 计算三重积分 所 解: 在柱面坐标系下 及平面 由柱面 围成半圆柱体. 例5. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中? 由抛物面 原式 = 内容小结 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁, 或 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 变量可分离. 围成 ; 作 业 P166 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 1. 将 用三次积分表示, 其中? 由 所 提示: 思考与练习 六个平面 围成 , 2. 设 计算 提示: 利用对称性 原式 = 奇函数 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院