高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第六节 傅里叶 (Fourier) 级数.pptVIP

* 一、谐波分析 三角函数系的正交性 二、傅里叶级数 三、奇函数与偶函数的傅里叶级数 四、函数 f(x) 在 [0 , ?] 上展开为正 弦级数与余弦级数 第六节 傅里叶(Fourier)级数 第十二章 无穷级数 一、谐波分析 三角函数系的正交性 由 组成的函数序列叫做三角函数系， 　　三角函数系的正交性是指 : 　如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘， 在区间 [??, ?] 上的定积分， 　其值都为零 . 这实际上只需证明以下五个等式成立 : 以上结果，这里就不证明了 . 二、傅里叶级数 如下形式的函数项级数 称为三角级数 . 假定 且可逐项积分 ， 注 意到三角函数系的正交性， 即有 于是有 所以 为了求出系数 an ， 我们用 cos kx 乘级数 ， 然后在逐项积分 由三角函数的正交性可知，等式右端各项中， 当 k = n 时， 有 其余各项均为零 . 因此 用类似的方法， 可得到 注意到在求系数 an 的公式中，令 n = 0 就得到 a0 的表达式， 因此求系数 an , bn 的公式可以 归并为 由傅里叶系数 组成的 三角级数称为傅里叶级数. an , bn 称为傅里叶系数. 收敛定理 (狄利克雷 (Dirichlet) 定理 ) 设函数 f(x) 是周期为 2? 的周期函数 ， 如果它满 足条件 : 在一个周期内连续或只有有限个第一类 间断点， 并且至多只有有限个极值点， 则 f(x) 的 傅里叶级数收敛， 并且 级数收敛于 (2) 当 x 是 f(x) 的间断点时， 级数收敛于 f(x) ; (1) 当 x 是 f(x) 的连续点时， 其中 f(x?0) 表示 f(x) 在 x 处的左极限， f(x+0) 表示 f(x) 在 x 处的右极限 . 它在 [?? , ?) 上的表达式为 试将函数 f(x) 展开成傅里叶级数 . 设函数 f(x) 是周期为 2? 的周期函 例 2 数 ， 解 函数 f(x) 的图形如图所示 ， ? ? f(x) x O 2? ? 这是一个矩形波， 它显然满足收敛定理的条件 ， 由式 (12.6.4) 因为在计算 又 根据收敛定理可知， 　　　　　　　　　　　　当 x ? k? (k = 0 , ?1 , ?2 ，···) 时， 傅里叶级数收敛于 f(x) ， 即 所求傅里叶级数和函数的图形如图所示 . 图形在 x = k? (k=0 , ?1 , ?2 ，?) 各点处与例 2 不同. 当 x = k? ( k = 0 , ?1 , ?2 ，?) 时， 级数收敛于 ?2? ? ? f(x) x O 2? ? 　　例 3　设函数 f(x) 是周期为 2? 的周期函数 ， 它在 [?? , ?) 上的表达式为 试将其展开成傅里叶级数. ≤ ≤ ? ? f(x) x O 2? ? ? ? 解　计算傅里叶系数 所求的傅里叶级数在连续点处收敛于 f(x) ， 即 级数收敛 于 ? 当 x = 2k? (k = 0 , ?1 , ?2 , · · ·) 时， 当 x = (2k + 1)? (k = 0 , ?1 , ?2 ，?) 时， 级数收敛于 0 . 图中给出了它的和函数的图形. ? ? f(x) x O 2? ? ? ? 展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，