高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第三节 二重积分的应用.pptVIP

* 第三节 二重积分的应用 一、几何上的应用 —— 体积 二、物理上的应用 第十章　重 积 分 例 1 求由旋转抛物面 z = 6 – x2 – y2 与 xy 坐标平面所围成的立体的体积. 解 由图 1 可见， 　该立体是以曲面 z = 6 – x2 – y2 为顶， x2 + y2 = 6 为底的曲面柱体. 利用对称性，得 图 1 一、几何上的应用 —— 体积 例 2 　求由锥面 　及旋转抛物面 z = 6 – x2 – y2 所围成的立体的体积. 解　画出该立体的图形， 求出这两个曲面的交线 在 xy 面上的投影曲线为 曲面围成的体积 它是所求立体在 xy 面上的投影区域 D 的边界曲线. 所求立体的体积 V 可以看作以 z = 6 – x2 – y2 为顶、 以 D 为底的曲顶柱体的体积 V2 ， 减去以 为顶、 即 在同一底上的曲顶柱体的体积 V1 所得， 二、物理上的应用 1. 平面薄片的重心 M 为薄片的质量，Mx、My 分别是 薄片关于 x 轴、y 轴的静力矩. 于是，重心坐标为 现有一平面薄片， 占有 xy 平面上区域 D， 在点 (x, y) 处的薄片面密度为 ? (x , y)， 且函数 ? (x , y) 在 D 上连续. 我们在 D 上任取子域 d? (d? 也表示该子域的面积 )， 点 (x , y) 是 d? 中的一点，如图. 薄片关于两坐标轴的静力矩 dMx， dMy 分别等于薄片 d? 的质量全部集中在点 (x , y) 上， 该点对 x 轴、y 轴的静力矩. 因为子域上薄片的质量为 于是点 (x , y) 对 x 轴，y 轴的静力矩分别为 y ? (x , y) d? ， x ? (x , y) d?, 即 图 10 - 26 x y O y x D (x,y) d? 分别为 于是，得重心坐标 为 因此，整个薄片的质量和它关于 x 轴、 y 轴的静力矩， 应用该公式求均匀薄片的重心， 要比用定积分求重心更简单. 如求半径为 R 的半圆形均匀薄片的重心， 则重心的横坐标(利用对称性重心的纵坐标为 0). x O D r = Rx 我们在 D 上任取一个子域 d? (d? 也表示子域的面积)， 则其关于x 轴、y 轴的转动惯量 dIx， 2. 平面薄片的转动惯量 设质点 P 位于 xy 平面上点 (x , y) 处， 且其质量为 m， 则该质点关于 x 轴、y 轴的转动惯量依次为 现有一平面薄片， 它占有 xy 平面上的区域 D， 薄片在点 (x , y) 处的面密度为 ? (x , y)， 且函数 ? (x , y) 在 D 上连续. 点 (x , y)是 d? 中的一点， dIy 就是 d? 的质量全部集中在点 (x , y) 上， 该点关于x 轴、y 轴的转动惯量 . 即为 这样便得薄片的转动惯量 例 3 求质量为 M， 长与宽分别为 a , b 的长方形 均匀薄板对长边的转动惯