高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第三节 任意项级数.pptVIP

* 一、交错级数 二、绝对收敛与条件收敛 第三节 任意项级数 第十二章 无穷级数 这样的任意项级数就叫做交错级数 . 它的一 般形式为 正负号相间出 现， 一、交错级数 在级数 中，总含有无穷多个正项和负项叫任意项级数. 设交错级数 定理 1 (莱布尼茨(Leibniz)审敛法) ≥ ≤ 这就是一个正项级数 的前 m 项部分和， 证 我们根据项数 n 是奇数或偶数分别考 设 n 为偶数， 于是 将其每两项括在一起 由条件 (1) 可知， 每个括号内的值都大于或等于零. 如果把每个括号看成是一项， 它显然随着 m 的增加而单调增 加. 另一方面 ， 如果把部分和 即部分和数列有界. 根据本章第二节定理 1 ， 有 ≤ 当 n 为奇数时， 我们总可把部分和写为 再由条件 (2) 可得 这就说明，不管 n 为奇数还是偶数. 都有 故交错级数 定理 1 也称为 交错级数审敛法或莱布尼茨审敛法. ≤ 可知，有 ≤ 例 1 试判定交错级数 解 所以由交错级数审敛法可知， ≥ ≥ 解 在利用交错级数审敛法时， 对于条件 (1)， 有时可利用导数工具来判断 . 因为 例 2 试判定交错 条件 (2) 往往比较容易判断， 由此可以推得 ≥ ≤ ≥ ≥ 例 3 试利用交错级数 使其误差不超过 0. 0001 . 解 又因为该级数是满足莱布尼茨审敛法的条件的交错级数， 即 就可以保证近似值的误差不超过 0.0001 . 且有 ≤ 绝对收敛. 定理 2 二、绝对收敛与条件收敛 *