高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第三节 定积分的换元积分法与分部积分法.pptVIP

* 一、定积分的换元积分法 第五章　定 积 分 第三节　定积分的换元积分法 　　　 与分部积分法 二、定积分的分部积分法 一、定积分的换元积分法 定理　若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续． 函数 x = j(t) 在区间 [a, b ]上单调且有连续导数 j?(t)， 当 t 在[a, b](或[b, a])上变化时， x = j(t) 的值在[a, b]上变化， 且 j(a) = a，j(b) = b(或j(a) = b，j (b ) = a ) 则 证　因为 f (x) 在区间[a, b]上连续， 所以它可积. 设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 则由牛顿 - 莱布尼茨公式得 由不定积分换元法得知 于是 例 2　计算 解　用定积分换元法. 则 x = t2 ， dx = 2tdt， 于是 例 3　计算 解 则 x = ln(t2 - 1) ， 于是 x t ln3 ln8 2 3 例 4　设函数 f (x) 在对称区间[- a, a]上连续， 求证： (2) 当 f (x) 为偶函数时， (3) 当 f (x) 为奇函数时， 证　(1) 根据定积分性质 3， 则 则 ① (1) 得 对①式右端第一个积分用换元积分法， 令 x = - t， 则 dx = - dt， x t -a 0 a 0 ， 于是 把 ② 式代入 ① 式中，得 ② (2) 因为 f (x) 是偶函数，即 f (- x) = f (x)， 得 (3) 因为 f (x) 是奇函数，即 f (- x) = - f (x)， 得 例 5　计算 解　易知 因此 且积分区间对称于原点， 例 6　计算 解　因为被积函数 且积分区间对称于原点， 令 x = 2sint， 则 dx = 2cos tdt ， x t 0 1 0 ， 于是 得 例 7　证明 证　根据三角函数关系 则 dx = - dt ， x t 0 0 ， 于是 特别地，当 f (sinx) = sinnx 时， n 为正整数，有 　　设函数 u = u(x)， v = v(x) 在区间 [a, b] 上具有连续导数， 二、定积分的分部积分法 则 即 由不定积分的分部积分法， 得 即 u? = u?(x)， v? = v?(x) 连续， 解　根据定积分的分部积分公式得 例 8　计算 解　根据定积分的分部积分公式得 例 9　计算 解　先用换元法，然后再用分部积分法. 例 10　计算 令 arcsinx = t， x = sin t， 则 dx = cos tdt， x t 0 1 0 ， 于是有 解　用定积分的分部积分法. 例 11　计算 把上式看作以 In 为未知量的方程， 解之，得 即 称它为递推公式. 当 n 为偶数时，有 *