高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第三节　格林公式　平面上曲线积分与路径无关的条件.pptVIP

*第三节　格林公式　 平面上曲线积分与路径无  关的条件 * 第十一章　曲线积分与曲面积分 二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 一、格林(Green)公式 　　定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则 ① 一、格林(Green)公式 其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①称为格林公式. y x a b O A B C D L E y = ?2(x) y =?1(x) 　　证明　假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直线与 D 的边界曲线的交点不超过两个.例如区域 D 为图所示，于是根据二重积分的计算法，有 另一方面.由曲线积分计算，有 所以 同理可证 两式相加，即得 取 P(x, y) = - y，Q(x, y) = x，由格林公式得 上式左端是区域 D 的面积 A 的两倍，因此有 　　例 1 求椭圆 x = acos t, y = bsin t 所围成的面积 A . 解 例 2　计算　 其中 L 为正向圆周 x2 + y2 = R2. 解　因为 P(x, y) = - x2y，Q(x, y) = xy2， 所以，由格林公式有 例 3　计算曲线积分 其中AnO为由点 A(a, 0) 至点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 + y2 = ax(a 0). 　　解　如果添加有向线段 OA，则 AnO + OA = L是一条正向的封闭曲线.我们设由它围成的区域为 D. 　　因为 P(x, y) = exsin y – my, Q(x, y) = excos y - m， 所以 y x O D n A(a, 0) 则由格林公式得 而 二、平面上曲线积分与路径 　　无关的条件 设 D 是一个开区域， 如果对 D 内任意指定的两点 A 与 B， 以及 D 内从点 A 到点 B 的任意两条不相同的分段光滑曲线 L1、L2， 等式 恒成立，则称曲线积分 在 D 内与路径无关.这时，我们可将曲线积分记为 y x O L1 L2 D B A 它也不是单连通域. 　　如果区域 D 内的任意一条简单闭曲线所围成的区域完全属于 D， 则 D 称为单连通域. 直观地说，单连通域就是没有空洞的区域. (a)图中的区域是单连通域， (b)图中的两个区域都不是单连通域. (b)图中右边的区域， 仅在区域中挖去一个点， (a) (b) 　　定理 1　在区域 D 中，曲线积分 与路径无关的充要条件是：对 D 内任意一条闭曲线 C，有 证　先证必要性. 设 AnBmA 是 D 内任意一条闭曲线. 因为曲线积分　　　　　 在 D 内与路径无关，所以 因此 y x O B D m n A 再证充分性. 设 A、B 是 D 内的任意两点， AnB 与 AmB 是 D 内的任意两条路径. 因为对 D 内任意一条闭曲线 C， 所以由题设有 恒有 因此 y x O B D m n A 这就说明了曲线积分 与路径无关. 　　定理 2　设函数 P(x, y)、Q (x, y) 在单