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证明、联想与启示 —— 对一道中考几何探究题的追溯 江苏省连云港市新海实验中学（222004） 宋彦波 数学书面测试的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学，反映在设计试题时，应该关注并且体现《课程标准》在设计思路中提出的一些核心思想，如图形与几何里的空间观念、几何直观、推理能力等．所以能力立意、极富思维含量的几何开放探究题就频频出现在中考或竞赛试卷之中，这类试题不仅承载着对学生基础知识和技能的理解和掌握、基本数学思想的领悟、基本数学活动经验的形成等诸多方面进行评价的功能，更能间接而有效的考查学生“数学地思维”的广度与深度．下面我们来具体分析北京市2008年中考一道几何压轴题，题目及解答简写如下： 1 问题回放 请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值． 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． A B C D E F G P 图2 D A B E F C P G 图1 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值； （2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明； （3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）． 图3 解：（1）线段与的位置关系是，= ； （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化． 简证：如图3，延长交于点，连结． 易证 （AAS）． ∴ ，． 又易证 ．∴ ，． 易知．∵，． ∴ ， ，故=． （3）=． 对于这样一道结构良好的几何探究试题，笔者相信研究过它的教师都会留下深深的回味：问题设置层层深入、数学思想方法巧妙镶嵌、图形中的“变与不变”、问题解决方法多样等等．然而作为数学教师，如果我们能把思维从欣赏试题转到反思试题，即把解题活动的过程作为研究对象，把学会数??思维和学会数学解题作为目标的话，那我们也许会有许多新的视角，总结出有规律性的知识，更能认清题目的内在联系和本质，而且这些“解题学”的专业知识以及由专业知识决定的专业素质自然会在日常的教学中自觉地或不自觉引导学生对其学习行为进行“透视”，数学教学就会走向本原．随着时间的推移，学生的学习行为就具有了自主性、反思性和科学研究的味道，数学学习对他来说就不会枯燥和单调，而是独具魅力了． 2 证明 先让我们再来对这道几何探究题的证明进行追问，追问的目的显然是出自教师或一个数学爱好者对问题的探究意识．在这部分里，为了不失一般性，我们只探究问题中第（3）问的证明思路和方法，同时，限于篇幅，有些证明过程作适当的删减，读者可以自行探究． 2.1 类比产生证法 波利亚说过：类比就是一种相似．由于问题（3）中的图形(图4)是由问题（2）图形（图3）旋转变换得到的，其他条件没有发生任何变化，故这两个图形在某些关系上具有相似性，所以完全可以类比小聪同学的思路解决问题． 证明一：如图4，延长线段GP到H，使HP=GP，连结DH、CG、CH． ∵ 点P是DF的中点，HP=GP， 图4 ∴ 点D、H、F、G构成平行四边形， ∴ DH∥GF，且DH=GF． 又∵ 四边形和四边形都是菱形， 且 ∴ DC=CB，GF=GB， ， ∴ ， ∵ DH∥GF∥BE，CD∥AB． 图5 ∴ ， ∴ △GBC≌△HDC， ∴ CH=CG， ，又HP=GP， ∴ ， CP⊥PG． 即 ， ∴ ． 2.2 过程催生想法 对证明一的解题过程进行分析，线段PG和PC的关系是依赖于中点P的，而且线段PG、PC的地位是平等的，既然倍长PG可以解决问题，那么为什么不能倍长线段CP去尝试一下呢？ 值得一试！ 证明二：如图5，延长CP到H，使PH=CP，连结HF、GH、CG． 这个问题的证明读者可以类比证明一进行体验． 2.3 信息整合萌发新思路 这里中点P起着“桥梁与纽带”的作用，在前面的证明过程中我们也能够体悟到这一点．又由于四边形和四边形都是菱形，联想到中位线定理，做题的经验与直觉思维诱发我们构造两个三角形，使CP和PG分别为三角形的中位线，这个想法的产生自然、大胆、开阔而且思维有所创新，当然，伴随着我们的心情也禁不住微微荡漾起来． 证明三：如图6，分别延长线段DC、FG到M、N ，使CM=DC，NG=FG， 连结FM、DN、BM、BN、BF、BD． 图6 ∵ 点P是线段DF的中点， ∴ DN∥PG，MF∥CP，且DN=2PG，MF=2CP． 四边形和四边形都是菱形， 且 ∴ BC=DC=CM，BG=GF=GN， ∴ △DBM和