全国高中数学联赛2003年.doc.docVIP

2003试题部分 第一试 选择题(每小题6分,共36分) 1. 删去正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是 (A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049 答( ) 2. 设，，那么，直线和曲线的图形是 答( ) 3. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，若此直线与抛物线交于，两点，弦的中垂线与轴交于点，则线段的长等于 (A) (B) (C) (D) 答( ) 4. 若，则的最大值是 (A) (B) (C) (D) 答( ) 5. 已知都在区间内，且，则函数的最小值是 (A) (B) (C) (D) 答( ) 6. 在四面体中，设，，直线与的距离为2，夹角为，则四面体的体积等于 (A) (B) (C) (D) 答( ) 填空题(本题满分54分,每小题9分) 7. 不等式的解集是__________. 8. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且=2：1，则的面积等于__________. 9. 已知,.若，则实数的取值范围是__________. 10. 已知均为正整数，且，，若，则=__________. 11. 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个地面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________. 12. 设,是中元素的个数，是中所有元素的和，则=__________. 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 13. 设，证明不等式. 14. 设，，分别是复数(其中都是实数)对应的不共线的三点，证明：曲线与中平行于的中位线只有一外公共点，并求出此点. 15. 一张纸上画有半径为的圆和圆内一定点，且，折叠纸片，使圆周上某一点刚好与点重合.这样的每一种折法，都留下一个直线折痕.当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合. 第二试 过圆外一点作圆的两条切线和一条割线，切点为、，所作割线交圆于、两点，在、之间.在弦上取一点，使.求证: 设三角形的三边长分别???整数、、，且，已知，其中，而表示不超过最大的整数.求这种三角形到周长的最小值. 由个点和这些点之间的条连线段组成一个空间图形，其中， ，，.已知此图中任四点不共面 ，每点至少有一条连线段，存在一点至少有条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点、、、和四条连线段、、、组成的图形)，存在一点至少有条连线段.