向量组α1.pptVIP

* 2 如果把向量空间V看作向量组,可知,V 的基就是向量组 的极大无关组,V 的维数就是向量组的秩. 3 向量空间的基不唯一. n 维线性空间， 显然， 的任意n个线性无关向量都构成 的一组基，从 而 有无穷多组基。例如，n 维基本向量组 就是 的一组基（称作标准基），于是 是 * 组基，但不同的基中所含的向量的个数却是相同的. （4）零空间中没有线性无关的向量，所以没有基。 作为全体n 维向量的集合，基是它的一个极大线性 无关组，而维数则是它的秩，所以虽然 有无穷多 5 由于本书只着重讨论 中的问题，所以下面的讨论只 在 中进行，事实上涉及到的概念与性质均可移植 到一般线性空间中去. * 定义3 三、元素在给定基下的坐标 显然，基本单位向量组 为 的一组基，向量 在该组基下的坐标为 * 解之得 x1 1, x2 5, x3 2, 故α在基α1, α2, α3下的坐标为 1, 5, 2 . 例5　在R3中，求向量α 8, 7, 2 T在基α1 1, 0, 0 T, α2 1, 1, 0 T, α3 1, 1, 1 T下的坐标. 解　设 ， 即 则有 * 定理1　设 是 的一组基，α, β是 的两个 向量，它们在基 下的坐标分别为 则α+β在这组基下的坐标为 kα k∈R 在这组基下的坐标为 所以α+β在这组基下的坐标为 同理kα k∈R 在这组基下的坐标为 * 定义4　设ξ1, ξ2, …, ξn和η1, η2, …, ηn为Rn的两组基， 它们之间的线性关系为 η1 a11ξ1+a21ξ2+…+an1ξn, η2 a12ξ1+a22ξ2+…+an2ξn, ………… ηn a1nξ1+a2nξ2+…+annξn ， 即 * 四、基变换公式与过渡矩阵 * 矩阵A 称为由基ξ1, ξ2, …, ξn到基η1, η2, …, ηn的过渡矩阵. 式可简记为 * 并称之为由 基 基变换. * 定理2　设 ； 以及 都是 的基，A, B为n阶矩阵，并且 定理的结论是显然的. 则 AB B, A * 反过来，任意一个n阶可逆矩阵A都可以作为 中由一组基到另一组基的过渡矩阵 过渡矩阵具有以下性质： . 定理3　设 和 均为 中的基，且 则过渡矩阵A可逆，且 A * 例如 R2 中有两组基 求由基 的过渡矩阵与 的过渡矩阵. 解 的过渡矩阵为 的过渡矩阵为 * B A . B -1 证明定理3　由假设有 另设由基 到基 的过渡矩阵为B，则有 , 所以有 由于 和 都是 中 的基，结合第二节的定理2，有 AB E BA. 从而A可逆，且 * 反过来，若 是任一n阶可逆矩阵， 为 中一组基，取 于是有 因A可逆，从而有 这表明向量组 可由向量组 线性表示. * 因而也是 的一组基，并且A就是由基. 知 再由假设 也线性无关 线性无关 到基 的过渡矩阵 * 五、坐标变换公式 定理4　设 和 为 中的 两组基，且基变换公式为 A, 设 中的向量α在基 和 下 的坐标分别为 ， 则有 A 称它们为坐标变换公式. T A 或 A -1 或 * 证明　因 β1, β2, …, βn α1, α2, …, αn A, 又 α x1α1+x2α2+…+xnαn α1, α2, …, αn α y1β1+y2β2+…+ynβn β1, β2, …, βn α1, α2, …, αn A * α1, α2, …, αn α1, α2, …, αn A ， 从而 A 即 x1, x2, …, xn y1, y2, …, yn AT. A -1 所以 * 例5 给定R3的两组基 1 求 的过渡矩阵； 的坐标为（1，－1，1），求 下的坐标； 的坐标为（1，－1，1），求 下的坐标. * 解 则有 2 设 下的坐标为 有 * 3 设 下的坐标为 由坐标变换公式，有 * *六、 子空间及其维数 设W是 的一个非空子集，若对于W中的任意两个 向量α与β的和α+β仍在W内，则说W对于 的加法 是封闭的；同样，如果W中任意向量α与任意实数k的 乘积kα仍在W内，就说W对于数乘是封闭的. 定理5　设L是 的一个非空子集，如果L对于 的加法 及数乘是封闭的，则L本身也是实数域R上的一个向量空间. 称L为 的一个子空间. 例6　由 的单个零向量构成的子集L 0 满足 定理5的条件，所以它是 的一个子空间， 称为零子空间. 显然 是其自身的子空间. * 例7　 中的向量 的一切线性组合组成的 集合是 的一个子空间，并称为由向量组 生成的子空间, 且其维数为R ，该子 空