19．1．2平行四边形的判定.docVIP

19．1．2平行四边形的判定 (一)﹑本节知识要点 1.平行四边形的判定方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2.三角形中位线:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. (二)﹑典例精析： 【例1】如图,点E、F是□ABCD的对角线BD上两点，且DE=BF. 求证：四边形DEBF是平行四边形. 「思路点拨」;已知DE=BF结合□ABCD可通过证明得到AE=CF,由得AF=CE.运用两组对边相等的四边形是平行四边形来证明. 证明:∵□ABCD,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADB=∠CBD,又∵DE=BF,∴,∴AE=CF.同理可证AF=CE.∴四边形DEBF是平行四边形. 解后反思:已知在平行四边形中有某些边上或对角线上的线段相等,通过证明两对三角形全等得到所证的四边形的两组对边相等从而得到其为平行四边形. 【例2】如图,过□ABCD的对角线的交点O作直线EF,分别交AD于E,交BC于F,G 、H分别为OD、OB的中点，求证：四边形EHFG为平行四边形. 「思路点拨」:所证四边形EHFG中两条对角线交于点O, 且OG=OH,为此只需证明OE=OF即可,由已知条件可证. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,OA=OC,OB=OD, ∴∠1=∠2,又 ∵∠AOE=∠COF,∴, ∴OE=OF, 又∵G 、H分别为OD、OB 的中点, ∴OG=OH, ∴四边形EHFG为平行四边形. 解后反思:若所证四边形中有对角线出现或原已知四边形中出现了对角线的,则常用对角线互相平分的四边形是平行四边形这一定理解证问题最为简便. 【例3】如图,四边形ABCD和四边形ABEF均为平行四边形.求证:四边形DCEF是平行四边形. 「思路点拨」:要证四边形EHFG是平行四边形,只需证明 DC∥EF,DC=EF, 或证明DC=EF,DF=CE. 证明:方法1:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AB=CD,同理AB∥EF, AB=EF,所以AD∥EF,CD=EF,所以四边形DCEF是平行四边形. 方法2: :因为四边形ABCD是平行四边形,所以DC=AB, AD∥BC, AD=BC,所以 ∠DAB=∠1,同理EF=AB, AF∥BE, AF=BE, ∠FAB=∠2,所以∠DAB+∠FAB=∠1+∠2,即∠DAF=∠CBE,所以,所以DF=CE,又因为DC=EF,所以四边形DCEF是平行四边形. 解后反思:此题的两种证法中,显然第二种方法较繁琐,不可取,因此,要证明一个四边形是平行四边形,要根据题目条件,灵活选择适当的判别方法,并结合平行四边形的性质和其他几何知识解题. (三)﹑基础训练 知识点一 平行四边形的判定一:两组对角分别相等的四边形是平行四边形 1．一个四边形的三个内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ） A、88°，108°，88° B、88°，104°，108° C、88°、92°、92° D、88°。92°，88° 2．下列说法正确的是 （ ） A 有两组对角分别相等的四边形是平行四边形. B 有两组邻角分别相等的四边形是平行四边形. C 有两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 D 有一组对边相等和一组邻角相等的四边形是平行四边形 3．在四边形ABCD中，若AD∥BC,∠A=∠C,则四边形ABCD是_______________. 4.在下列条件中,不能判断四边形是平行四边形的是( ) A ∠A=∠C, ∠B=∠D B ∠A=∠B=∠C=90° C ∠A+∠B= 180°,∠B+∠C= 180° D ∠A+∠B= 180°,∠C+∠D= 180° 知识点二 平行四边形的判定二: 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 1.已知a、b、c、d为四边形的四边长,a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形一定是 _________________四边形. 2.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）． A、AB∥CD，AD=BC; B、∠A=∠B，∠C=∠D; C、AB=CD，AD=BC; D、AB=AD，CB=CD 3.已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF． 求证：四边形DEBF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O A B C 4.（09年伊春）如图，A、