抛物线过焦点的弦的性质的探究-温州中学.docVIP

“抛物线过焦点的弦的性质的探究”的课堂设计 温州中学 徐芳芳 一、教学背景：前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，通过对抛物线过焦点的弦的性质研究，达到优化学生的认知结构，同时抛物线过焦点的弦的性质又是历届模拟考和高考的热点，如2001年的高考题就出现两个题目。 二、问题探究： 问题：已知抛物线，过焦点F的一条直线l交抛物线于A、B 若直线 l 的倾斜角为，求弦长。 解： 考虑到，且 时直线的斜率不存在，设直线l的方程为： 代入抛物线方程得 由韦达定理得： 由弦长公式得 说明: 当直线的斜率不为零时,可用以上设法 . 探究1:过焦点的弦长何时最小? 的最小值为 结论：即过焦点的弦长中通径长最短. 探究2:求弦长还有其它方法吗? 生:过焦点的弦还可用定义来解 探究3:从刚才的解题过程中我们能否发现了A、B两点的坐标关系？ 生： 师：横坐标关系吗？ 生： 探究4：以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？ 学生分小组讨论,结果：相切。 师：为什么？ 生：利用抛物线的定义和梯形的中位线定理即得 。 探究5：连接A1F、B1 F 则 A1F、B1 F有什么关系？ 通过分小组讨论，猜想A1FB1 F 师：怎么证明？ 同理 A1FB1 F 师：能否利用此结论来证明探究3？ 生：利用直角三角形的射影定理即得。 探究6：刚才我们证得 为直角三角形，那么图形中还有哪些直角三角形？ 生：由探究4知M1 在以AB为直径的圆上 AM1BM1 探究7：M1 F与AB又有什么关系？ 学生通过讨论知M1 F与AB垂直。 师：证明？ 生：由探究5知为直角三角形，M1 是斜边A1 B1 的中点 M1FAB 探究8：点O、B1 的位置关系？ 生：三点共线 。因为，而 所以所以三点共线。 师：你还能得出哪些结论？ 生： （1）B、O、A1 共线； （2）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1 ，则BB1 平行于轴 ；(2001年高考题) （3）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1 ，则AA1 平行于轴。 探究9： 生：由抛物线的定义得 探究10 ：是定值吗？(2001年高考题) 师：若是定值，请问答案是什么？ 生：可通过特例计算得 。 师：怎么证明？ 通过小组讨论，请学生代表发