公式的应用与拓广.docVIP

公式的应用与拓广 9（B）教材“平面的斜线和平面所成的角”一文中，给出了公式． 图1 如图1，其中是平面的斜线与过斜足的平面内直线所成的锐角，是平面的斜线与平面所成的角，是平面的斜线在内射影与所成的锐角．此公式既可用来求线线角，亦可用来求线面角和二面角，请看下例： 例1 已知一直角△，将它沿斜边上的高折成一个直二面角，求折迭后二直角边，的最小夹角．（如图2（1）（2）） 图2（2） 图2（1） 解 设，，则，又设． 因为二面角，即平面平面，，所以面，是与平面所成的角，有， 所以 因为，得， 所以，得， 在上是单调减函数， 所以，即． 例2 如图1，长方体中，，，求异面直线与所成的角． 解 因为，所以为所求． 图1 因为面，不妨设，，． 易知，据公式便得 ，得异面直线与所成角为． 例3 已知平面于，为在内的射影，平面，若，，求与平面所成的角． 解 设与平面所成的角为，，又设，由公式，得 ，得． 上述应用中，针对为锐角的条件求解．下面考虑当为直角或钝角时，公式能否适用． 当时，直线，由三垂线定理得，即为直角，因为，，所以． 当为钝角时，如图1，过作的延长线于，连，则． 因为，， 图1 ． 所以． 拓广1 若为直角或钝角，公式仍成立． 事实上，公式所表示的真命题用语言表述为：从一点引出不共面三条射线两两夹角为，，（是锐角）．若角、角所在的两个平面互相垂直，则成立．下面推导其逆命题：若成立，则和所在的两个平面互相垂直是否为真． 为了推导的方便，不妨令亦为锐角，由成立知亦是锐角，如图2．设，，是三条不共面射线，，，．在上取点，过作平面交于、交于，则，．由， 图2 所以 ， 所以 ， 即 ， 所以 ，据勾股定理的逆定理，得为直角．而为二面角的平面角，故面面． 拓广2 从一点引出不共面三条射线两两所夹的角为（是锐角），若有，则面角所对的二面角是直二面角． 上述两个公式的拓广更可应用于一些构图较困难的立体几何题． 例4 已知是△所在平面外一点，，且，求二面角的大小． 解 记， 因为，得二面角为． 例5 如图1，正四棱柱的底面边长为1，高为4，分别在侧棱上取点，，，，顺次连结折线段，，求相邻两折线段，的夹角． 图1 解 根据意可得，． 因为二面角为直二面角． 所以 ， 所以即间夹角为． 例6 如图1，正四棱锥侧棱和底面所成的角等于，相邻两侧面所成的二面角等于，求证： ． 证明 设正四棱锥的底面边长为，高为，则 图1 ． 在△中，， 所以 ． 因为．在△中由余弦定理得 在2001年江西、山西、天津高考试题第20（甲）题，将设为，正四棱锥的底面边长为，于，且点是侧棱的中点，求二面角的大小，读者不妨一试． 例7 过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，将抛物线所在平面沿轴折成直二面角，求此时两点间距离． 解 易知焦点的坐标为，弦所在直线的方程为．又易求得与抛物线的两交点的横坐标为，．由焦半径计算公式得 ，， 因为 平面平面． 所以 ， 在△中由余弦定理有 ，得． 将组成一个三角面，角所对的二面角为直二面角，这就是公式使用的隐含条件．倘若角所对的不是直二面角，公式能否拓广呢？回答是肯定的： 拓广3 设三面角的三个面角分别为，，，面角所对的二面角为，则有公???： ． 此公式称为三面角的余弦公式，利用此公式求二面角的大小非常方便，它回避了需做到二面角的平面角这一步骤．此公式的推证留给有探索兴趣的读者自行完成．