三角形中位线.doc.docVIP

第24章图形的相似 24. 4中位线(1) 学习目标: 1、经历三角形中位线的性质定理形成过程，掌握该定理，并能利用它们解决简单的问题。 2、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。 3、进一步训练说理的能力。 4、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。 教学重难点： 重点：经历三角形中位线的性质定理形成过程，掌握该定理，并能利用它们解决 简单的问题。 难点：进一步训练说理的能力。 学习过程： 一、导读思考： 在§24.3中，我们曾解决过如下的问题：　 如图24.4.1，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC。 由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点。 现在换一个角度考虑，如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？ 二、探究新知 1、猜想 从几何画板的演示看，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC． 2、证明： 已知： 如图24.4.2所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC。 求证： DE∥BC，DE＝BC。 证明：如图24.4.2，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点， ∴　． ∵　∠A＝∠A， ∴　△ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）， ∴　∠ADE＝∠ABC，（相似三角形的对应角相等，对应边成比例）， ∴　DE∥BC且 思考：本题还有其它的解法吗？ 分析:　要证DE∥BC，DE ＝BC，可延长DE到F，使 EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形。 3、概括 我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。 注意：三角形的中位线与三角形中线的区别。 三、知识应用 例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 已知： 如图24.4.3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC， AF＝FC。 求证： AE、DF互相平分。 证明: 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等 于第三边的一半） 同理EF∥AB ∴四边形ADEF是平行四边形 因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分） 例2 如图24.4.4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G。 求证：　 证明： 连结ED ∵　D、E分别是边BC、AB的中点 ∴　DE∥AC，（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半） ∴　△ACG∽△DEG ∴　 ∴　 归纳： 如果在图24.4.4中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，如图24.4.5，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与G′是重合的。于是，我们有以下结论：　 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的。 四、精练反馈 1、课本P70页 练习1、3 【变式】已知四边形ABCD中， AC⊥BD ，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，求证：四边形EFGH是矩形。 【变式】已知四边形ABCD中， AC=BD ，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，求证：四边形EFGH是菱形。 【变式】已知四边形ABCD中， AC⊥BD 、AC=BD ，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，求证：四边形EFGH是正方形。 2、课本P70页 习题24.4——1、3、4。 3、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为 cm,面积为 cm2,为原三角形面积的 。 4、已知:△ABC三边长分别为a,b,c,它的三条中位线组成△ DEF,则△DEF的周长等于 ,为△ABC周长 的 , 与△DEF全等的三角形有 个， 即△DEF面积为△ABC面积的 。 课堂小结 三角形中位线的定理: 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 三角形的3条中位线的特点： 三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 三条中位线将原来的三角行分割成四个全等的三角形。 三条中位线将三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 三角形