高中数学总复习第二轮专题五 5.2 不等式的解法.docVIP

§5.2 不等式的解法 考点核心整合 1.本节的重点内容是：一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式，对它们的解法必须熟练掌握.解一般的一元二次不等式ax2+bx+c0(0),第一，讨论a的符号；第二，讨论Δ的符号；第三，讨论对应方程的两根x1、x2的大小.解分式不等式，一般要将一边转化为零，采用穿根法可简捷地求得其解集.解含绝对值的不等式，基本思路是去掉绝对值，视其不同的形式，采用的方法有分类讨论去绝对值、两边平方去绝对值、借助性质|x|a-axa,|x|ax-a或xa去绝对值. 2.了解简单的指数不等式、对数不等式及无理不等式.通过解不等式，体现等价转化、分类讨论、数形结合的思想. 考题名师诠释 【例1】 已知c＞0.设 命题P：cn=0. 命题Q：当x∈［,2］时，函数f(x)=x+＞恒成立. 如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求c的取值范围. 分析：由cn=0得，0＜c＜1.∴P：0＜c＜1, 由x∈［,2］时，函数f(x)=x+＞恒成立，想到＜f(x)min,故需求f(x)在［,2］上的最小值. 解析：∵cn=0且c＞0,∴0＜c＜1,∴P：0＜c＜1. x∈［,2］时，x+≥2当且仅当x=1时“=”成立. ∵x∈［,2］时，函数f(x)=x+＞恒成立，∴＜2.∴c＞. Q：c＞, 如果P或Q为真命题，则c＞0; 如果P且Q为假命题，则0＜c≤或c≥1. 综上得0＜c≤或c≥1. 评述：解本题关键是熟练掌握求最值的方法：均值不等式或利用函数的单调性，及复合命题的真假性判断. 【例2】 解关于x的不等式1(a∈R). 解：当a≠1时,原不等式 0 0, 由-2=得 ①当0a1时，解为2x;②当a1时，解为x或x2;③当a0时，解为x2;④当a=0时，无解；⑤当a=1时，解为x2. 评述：解含参数的不等式时，往往需要对参数进行讨论，应当根据条件正确制定分类标准，确保穷尽所有可能情形，做到不重不漏. 【例3】已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x. (1)求函数g(x)的解析式; (2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|. 解：(1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y), 则即 ∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上, ∴-y=x2-2x，即y=-x2+2x. 故g(x)=-x2+2x. (2)由g(x)≥f(x)-|x-1|，可得 2x2-|x-1|≤0. 当x≥1时,2x2-x+1≤0, 此时不等式无解. 当x1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤. 因此,原不等式的解集为［-1,］. 评述：本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识以及运算和推理能力. 【例4】定义在(0，+∞)内的函数f(x),对任意的x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y),当且仅当x＞1时f(x)＞0成立. (1)设x,y∈(0,+∞),求证：f()=f(y)-f(x); (2)设x1,x2∈(0,+∞),f(x1)＞f(x2),试比较x1,x2的大小； (3)解不等式f()＞f(ax-3)(0＜a＜1). 分析：有关抽象函数的不等式其实就是研究抽象函数的单调性，在把抽象函数不等式转化为普通不等式时，不能忘记抽象函数的定义域要求. 解析：(1)∵f(x)+f(y)=f(xy), ∴f()+f(x)=f(·x)=f(y), ∴f()=f(y)-f(x). (2)∵f(x1)＞f(x2)f(x1)-f(x2)＞0 f()＞0＞1x1＞x2, ∴x1＞x2. (3)由(2)知，f()＞f(ax-3)等价于 3ax5loga3＞x＞loga5. ∴原不等式的解集为(loga5,loga3)(0＜a＜1). 评述：本题将函数与不等式两大不同的知识块在网络交汇处融为一体，具有很强的综合性和时代性.高考试题中，对于解不等式要求较高，往往与二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切相关. 从近几年的高考试题来看，解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式(如本例)，其难度系数一般在0.6左右.对不等式的基本性质以及各种类型的不等式的解法要求熟练掌握，对思维能力和运算化简能力有较高要求.