高中数学总复习第二轮专题五 5.3 不等式的应用.docVIP

§5.3 不等式的应用 考点核心整合 不等式的应用常常与求最值相关联，不等式在函数、方程中的应用，在几何中的应用及利用不等式解决实际问题. 1.定理：如果x,y是正数，那么≥(当且仅当x=y时取“=”号). 已知x,y都是正数，①如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;②如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 2.几何中一类求取值范围的问题是通过几何知识列出不等式，然后求解不等式，从而得出参数的取值范围. 3.几何中距离、面积等最值问题，可以用重要不等式求解. 4.不等式应用题要通过阅读、理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起相应的能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题.(如解不等式、不等式的证明、均值不等式等) 考题名师诠释 【例1】已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2 解析：x,y∈R+,∴(x+y)(+)=1+a++≥1+a+2. 当且仅当=即y2=ax2时“=”成立. 由题意得1+a+2≥9. a≥4. 答案：C 链接·聚焦 有的同学如下求解：∵x,y∈R+,∴x+y≥2＞0,+≥2. ∴(x+y)(+)≥4≥9.∴a≥. 上述错误在两不等式“=”不能同时成立. 【例2】已知a≥,函数f(x)=-a2x2+ax+c. (1)证明：对任意x∈［0,1］,f(x)≤1的充要条件是c≤; (2)已知关于x的实系数二次方程f(x)=0有两个实数根α、β，证明：｜α｜≤1且｜β｜≤1的充要条件是c≤a2-a. 分析：本题属于三个“二次”的问题，这类问题在解题时，首先要充分利用相应的二次函数的性质，特别是图象特征与单调性，由此可得解法. 解：(1)f(x)=-a2(x-)2+c+,∵a≥,∴0＜≤1,即∈(0,1]， 当x∈［0,1］时，f(x)max=f()=c+. 充分性：∵c≤, ∴x∈［0,1］时,f(x)≤c+≤1, ∴f(x)≤1(x∈［0,1］). 必要性：∵x∈［0,1］时，f(x)≤1,而∈(0,1), ∴f()=c+≤1,∴c≤. (2)二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴方程为x=,因为a≥,故∈(0,1)［-1,1］, ∴f(x)=0的两根α、β在［-1，1］内 c≤a2-a, ∴｜α｜≤1且｜β｜≤1的充要条件是c≤a2-a. 点评：本题考查了对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式这三个“二次”之间关系的本质认识，对学生灵活处理参数的能力及不等式的转换能力有较高要求.三个“二次”问题在高考中经常会出现. 【例3】 有一位同学写了一个不等式：≥(x∈R). (1)她发现当c=1、2、3时不等式都成立，试问：不等式是否对任何的正数c都成立？为什么？ (2)对已知的正数c，这位同学还发现，把不等式右边的“”改成某些值，如-c、0等，不等式总是成立的，试求出所有这样的值的集合M. 分析：解决这类不等式的常用方法就是变量代换，令=t，则t≥.然后再利用基本不等式或函数的单调性来解决，这样就引起分类讨论. 解：(1)令=t≥,令f(x)=- =. ① 若不等式成立，即①式≥0，则需tc-1≥0x2≥-c. ② 而当c=时，②式对于x∈R不能成立，所以原不等式对任何正数c不是都成立.(2)当0c≤1时，f(t)=t+≥2,当t=1， 即x=时取等号. 所以［f(x)］min=2,故M={m|m≤2}. 当c1时，t≥,t-10. 由①知，f(x)-≥0， 当t=，即x=0时，取等号，所以［f(x)］min=，故M=(-∞,). 综上所述，当0c≤1时，M=(-∞,2]；当c1时，M=(-∞,). 评述：分析法、比较法仍是证明不等式的常用方法. 【例4】设函数f(x)=ax2+8x+3(a＜0),对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a),使得在整个区间［0,l(a)］上，不等式｜f(x)｜≤5都成立.问a为何值时,l(a)最大？求出这个最大的l(a),证明你的结论. 分析：要使｜f(x)｜≤5在［0，l(a)］上都成立，只需｜f(x)｜在［0,l(a)］上的最大值不大于5即可.求｜f(x)｜在［0,l(a)］上的最大值，需判断-是否在［0，l(a)］内，故需分类讨论. 解