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§１.6 全概率公式与贝叶斯公式 《概率统计》 下页 结束 返回 一、全概率公式引入 五、贝叶斯公式及其应用 二、全概率公式与证明(现行教材) 四、全概率公式应用 下页 三、改进型全概率公式及其推导 全概率公式与贝叶斯公式 一、全概率公式问题引入 引例1. 设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。 引例2. 设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱， 且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现从中任 取1箱，再从该箱中任取1件产品，求取得次品的概率。 小结：诸如此类的概率都是比较难求的。给人的感觉是，问题太 复杂，不知该从哪里下手。 问题：那么，复杂的问题能否简单化呢？这就是全概率公式的意 义所在。 下页 设试验Ｅ的样本空间为Ω，设事件B1，B2，…，Bn为样本空 间Ω的一个划分，且Ｐ(Bi)0, i =1,2, …，n． 则对任意事件A，有 B1 B2 B3 Bn … Ω A 证明：因为 按概率的可加性及乘法公式有 故 二、全概率公式与证明(附:现行教科书证明) 下页 三个特点： ①没错; ②难用; ③误导. 设试验Ｅ由先后相继的两个试验Ｅ1,Ｅ2构成, Ｅ1的样本空间 为Ω1，B1, B2 ,…, Bn为Ω1的一个划分，即B1∪B2 ∪…∪Bn= Ω1； Ｅ2是在Ｅ１发生的条件下的试验,其样本空间为Ω2 。那么，对于 Ｅ2的任一事件A，有 三、全概率公式及其推导 推导：Ｅ2的P(A), 下页 ［这里的P(A/Ω1), 其实是全条件下的概率, 这就是全概率的含义］ 实质上是 P(A/Ω1) ! 关键所在! 难点所在! 引例1. 设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。 E1: B1= {从甲袋取出2个红球}， B２= {从甲袋取出2个白球}, B3= {从甲袋取出1个白球1个红球}, E2: A={从乙袋取出2个红球}. 设试验Ｅ由先后相继的两个试验Ｅ1,Ｅ2构成, Ｅ1的样本空间 为Ω1，B1, B2 ,…, Bn为Ω1的一个划分，即B1∪B2 ∪…∪Bn= Ω1； Ｅ2是在Ｅ１发生的条件下的试验,其样本空间为Ω2 。那么，对于 Ｅ2的任一事件A，有 三、全概率公式及其推导 推导：Ｅ2的P(A), 下页 由条件概率公式得， 从而得， ［这里的P(A/Ω1), 其实是全条件下的概率, 这就是全概率的含义］ 实质上是 P(A/Ω1) ! 关键所在! 难点所在! 四、全概率公式应用 例1. 设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从甲 袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2个 红球的概率. 解：设B1= {从甲袋取出2个红球}， B2= {从甲袋取出2个白球}, B3= {从甲袋取出1个白球1个红球}, A={从乙袋取出2个红球}. 显然，B1, B2,B3 两两互斥, 是对从甲袋中取球试验E1样本空间的 一个划分, A是从乙袋中取球试验E2的一个事件, 所以由全概率公式得 下页 注意两点： ①解题逻辑; ②Ω1 ≠ Ω. 例2. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台 的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件 是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为 多少？ 解：令Bi={零件为第i台机床加工的} (i=1,2)， A={取到的零件为合格品}. 此时，把取哪台机床生产的产品的试验认为是E1，检查质量的 试验认为是E2(人为分为先后相继的两个试验来考虑)，显然， B1,B2是E1样本空间的一个划分，由全概率公式得 四、全概率公式应用 下页 例3.某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3, 0.2, 0.1, 0.4，迟到的概率分别为 0.25, 0.3, 0.1, 0, 求他迟到的 概率． 解：设B1＝{乘火车来}， B2＝{乘轮船来}， B3＝{乘汽车来}， B4＝{乘飞机来}， A＝{迟到}. 易见, B1∪B2∪B3∪B４=Ω1，由全概率公式得 =0.3×0.25＋ 0.２×0.3＋ 0.１×0.1＋ 0.4×0=0.145 下页 解题要点： 一般情况下，给出主