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定積分 面積 定積分的定義及定理 微積分基本定理 面積 內接多邊型的面積 考慮由拋物線 ，x軸，及x=2所圍成的區域(圖一)。我們以R代表在曲線 下介於x=0及x=2之間的區域，目的在於計算其面積A(R)。 將區間[0,2]分割成n個子區間，每一個長度為△x=2/n，由下列各點組成 4 3 2 1 R 0 1 2 (圖一)  考慮底為 且其高為 的矩形，它的面積為 。所有如此矩形 的聯集形成內接多邊型。面積 能被計算出來。 此時 我們得到 里曼和 考慮區間[ a , b ]的一個分割P，由點 分成 n 個子區間(不一定具相等長度)，令 ，在每一子區間 上選取任一點 (可能為一端點)，我們稱它為第 i個子區間的樣本點。 形成和 　　　 我們稱 為 f 對分割 P 的里曼和。 定積分的定義 設P， 及 如上頁所述，令|P|為分割P中所給子區間中最大的長度，稱|P|為P的範數(norm)。令 f 為定義在閉區間 [ a , b ] 上之一函數，若 存在 ，我們稱 f 在[ a , b ]上可積分。進一步，稱 為 f 從 a 至 b 的定積分(或里曼積分)。表示成 定積分的定理（１） 定理Ａ：可積性定理 　若ｆ在[ a , b ]上有界且除了有限個點外皆連續，則 f 在[ a , b ]上可積分。特別，若f 在[ a , b ]上連續，則 f 在[ a , b ]上為可積。 定理Ｂ：區間的加法性質 　若 f 在一閉區間上可積分且 a ， b 及 c 為該區間內任意三數 ， 則 定積分的定理（２） 定理Ｃ： 　若 f 與 g 在 [ a , b ] 上皆為可積分且對所有 , f ( x )≧g ( x ) , 則 定理Ｄ：界限性質 　若 f 在[ a , b ]上可微分，且若 ， ，則 定積分的定理（３） 定理Ｅ： 　若 c d，則 定理Ｆ： 　若 f (a) 存在，則 定理Ｇ： 　 ，c 為一常數。 定積分的定理（４） 定理Ｈ： 　若 f 在 [ a , b ] 上可積分且 c 為任意實數,且 c f 在 [ a , b ]上可積分，則 定理Ｉ： 　若 f 在 [ a , b ]上可積分且對所有 ，f ( x )≧0，則 定積分的定理（５） 定理Ｊ：(定積分的線性關係) 　若 f 與 g 在 [ a , b ]上皆為可積分，則 f + g 與 f – g 在 [ a , b ]上皆可積分，則 定積分的均值定理 若 f 在閉區間 [ a , b ]上連續 , 則在開區間(a , b)內存在一數 z，使得 設 f 在 [ a , b ]上為連續，f 在 [ a ,b ]上的平均值 fav 為 微積分基本定理 設 f 在閉區間 [ a , b ]上連續 . 第一部份：若對所有 ， 函數G定 義為 則G為 f 在 [ a , b ]上的反導 數 。 　第二部份：若 F 為 f 在 [ a , b ]上的任一 反導數 , 則 * * *