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第l1卷第3胡 黄山学院学报 V01．11．NO．3 of Journal 2009年6月 HuangshanUniversity Jun．2009 高等数学中的构造辅助函数 刘 勇 (江苏城市职业学院张家港办学点，江苏张家港215600) 摘要：通过构造辅助函数来解题是数学分析中的一种重要方法．为此通过典型实例体现构造辅助函数 在高等数学多方面解题中的应用，同时对构造辅助函数解决的问题进行了归纳，并总结了构造辅助函数的步骤。 关键词：辅助函数；证明；函数；分析 中图分类号：G642．3文献标识码：A 文章编号：1672-447X(2009)03一0118埘 构造函数思想是高等数学的一种重要的思想 方法，在高等数学中具有广泛的应用，它属于数学 思想方法中的构造。在数学解题中经常运用它，但 (D)，只1)中至少有一个为零，则o，l中至少有一个是／ 是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重 视这种思想方法的引导和渗透，多归纳总结，本文 对数学分析中的几类问题。使用构造函数的方法求 个实根f。 解．阐明了构造的思想和具体的方法。 所以，在【o，1】上方程瞰)Ⅺ至少有一个实根。 对于具体的方程或含‘的等式，若构造的函数 1 证明方程根及中值‘的存在性 经验证不符合零点定理，即用零点定理证明失效 时，则改用罗尔定理，此时，需寻找该函数的原函数 在证明方程根的存在性及中值的存在性时。常 m)作为所构造的辅助函数。 要构造辅助函数，找到合适的辅助函数是论证的关 1．2构造辅助函数用罗尔定理证明 键所在，这类问题一般用中值定理来解决，在证明 对于上述问题以及含有抽象函数肛)及其导数 时。要注意验证所构造的辅助函数满足所用定理的 广∽的方程式关于‘的等式，在证明时，应构造辅助 条件。 函数，用罗尔定理证明，此时构造函数的一般方法 1．1辅助函数用零点定理证明 是寻找原函数，其步骤为： 若题设中没有抽象函数连续的条件，或所给的 1．若证的是含有‘的等式，先把‘改为石，使等 方程是具体方程，此时应考虑用零点定理，构选辅 式成为方程。 助函数的方法是通过移项。把方程的一端化为零， 2．把方程看作是以m)为未知函数的微分方程， 另一端即为所要构造的辅助函数(若结论是含有等 然后解微分方程。 式，则把‘换成z)。 3．求出解后，把V常数C移到一端，另一端即为 例1 所要构造的辅助函数。田 设m)在【0，1】上连续，0≤，W≤l，证明方 程m)剐在【0，1】上至少有一个实根。 收稿日期：2009-02-05 作者简介：搠 勇(1975一)．安教黄山人。江苏城市职业学院张家港办荦点讲师。 万方数据 第3期 刘勇：高等数学中的构造辅助函数 ·119· 2荭厂(6)一，(口)1=(bI-a：)，W)。 例2已知ao+IaI+}n2+…+暑=0，试证在 【0，1】内至少有一点‘，使伽+o《+∥+…+谚=O。分析：磕以啦剑=∥一口^)，嘞j瞥=等， 分析，此题按1