幾道美國大學生數學競賽題的一般形式-中研院數學研究所.pdfVIP

數學傳播 34 卷 4 期, pp. 77-82 幾道美國大學生數學競賽題的一般形式 蘇化明 黃有度 潘 杰 摘要: 給出幾道美國大學生數學競賽題的一般性結論並說明其應用。 關鍵詞: Putnam 數學競賽 , 數 列極限, Stolz 定理 , 收斂速度。 歷屆美國大學生數學競賽 (The William Lowell Putnam Mathematical Competi- tion) 有這樣幾道試題: 一、 第 7 屆 (1947 年) A−1 題[1]。 設數列 {an } 滿足條件 (2 − a )a = 1, n ≥ 1, n n+1 試證: 當 n → ∞ 時, lim an 存在且等於 1。 n→∞ 二、 第 27 屆 (1966 年) A−3 題[1]。 設 0 x1 1 而 xn+1 = xn (1 − xn ), n = 1, 2, . . ., 求證: lim nxn = 1。 n→∞ 三、 第 67 屆 (2006 年) B−6 題[2]。 設 k 為大於 1 的整數, 若 a0 0 且定義: 1 ak+1 n √ an+1 = an + k , n = 0, 1, 2, . . . , 求 lim k 。 a n→∞ n n 本文得到了一個一般性命題, 由此命題可給出這幾道試題的統一解答, 然後通過其他實例 再進一步說明此命題的應用。 命題: 設函數 f (x) 在 [0, +∞) 上連續, 且 0 ≤ f (x) x, x ∈ (0, +∞)。 對任意的 a ≥ 0, 定義數列: a = f (a ), n = 1, 2, . . .。 若存在正數 m 0, 使 1 n+1 n [xf (x)]m lim = l (l 為常數) x→0+ xm − [f (x)]m 成立, 則 lim nam = l。 n n→∞ 77 78 數學傳播 34 卷 4 期 民 99 年 12 月 證: 因 0 ≤ f (x) x, 所以 0 ≤ a a , 故數列 {a } 單調遞減且有下界, 從而數 n+1 n n 列 {a }收斂。 令 lim a = λ, 則 λ ≥ 0。 由函數 f (x) 連續性知 lim a = lim f (a ) = n n n+1 n n→∞ n→∞ n→∞ f ( lim a ), 即