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第一章 多项式 学时：28学时 教学方法和手段 由于多项式与整数在许多方面有相似之处，因此在建立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比。 基本内容和教学目的 本章主要讨论一元多项式的概念和运算，建立多项式因式分解理论，并讨论与之有密切关系的求根问题。这是中学有关知识的加深和扩充。 本章的重点和难点 重点:一元多项式的因式分解理论. 难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别. 假设结论对n-1次多项式成立，则当 是n次多项式时，由于 在C上至少有一个根， 设为 则 ， 是C上n-1次 多项式。由归纳假设知 在C上有n-1个根， 推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多项式。 推论2： 任一个n（n0）次多项式 在 在C上的根，所以 n个根。 它们也是 在C上有 上都能分解成一次因式的乘积，即 的标准分解式是： 其中 是不同的复数， 是自然数且 韦达定理： 设 是 的两个根，则 C上多项式的根与系数关系： 设 —（1） 是一个n（n0）次多项式，则它在C中有n个根，记 —（2） 比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数， 则 为 得根与系数的关系为： 如果 根与系数的关系又如何？ 利用根与系数的关系，可以构造一个n次多项式， 使其恰以 为根。 例1.8.1： 它以1和4为单根，-2为2重根。 求一个首项系数为1的4次多项式，使 解：设 则 二、实数域上的多项式 定理1.8.3： 如果 是实数系数多项式 的 与 有相同的重数。 证：设 由于 是 的根， 故有 两边取共轭复数，注意到 和0都是实数， 则有 可见 也是 的根。 非实复根，则 的共轭复数 也是 的根，且 因此多项式： 能整除 ，即存在多项式 ， 使 是实系数多项式， 故 也是实系数多项式。 若 是 的重根，由于 ， 故 必是 的根， 是实系数，故 也是 的根， 故 也是 的重根。 与 重复应用这个推理方法知 的重数相同。 唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的 定理1.8.4 每个次数 的实系数多项式都可 乘积。 就是一次因式子，结论成立。 若 ， 证明： 的次数作数学归纳。 对 假设对结论次数n的多项式结论成立， 现考虑 ，由代数基本定理， 有一复根 。 若 为实数 则 ，其中 不为实数，则 若 也是 的复根，于是 设 ，则 是一个二次实系数不可约多项式，且 不可约多项式的乘积，故结论成立。 由归纳假设知 可分解成一次因式与二次 。即在 上， 推论3 中不可约多项式除一次多项式外， 只有含非实共轭复根的二次多项式。 推论4 n（n0）次实系数多项式 具有标准分解式： 不可约，即满足 在R上 例1.8.2： 设 是多项式 的非零根， 求以 为根的四次多项式。 解： 设 为多求多项式。 所求多项式是： 或 §1.8 有理系数多项式 本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如何求Q上多项式的有理根，由于 与 在 上的可约性相同。因此讨论 在Q上的可约 性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 的系数互素，则称 是一个本原多项式。 例如： 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。 是本原多项式。 引理（高斯定理）： 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。 证： 设 都是本原多项式 若 不是本原多项式，则存在素数p，使 由于 都是本原多 项式，故 的系数不能都被p整除， 的系数 也不能被p整除， 可设 但 但 现考虑 除了 这一项外，p能整除其余各项， 因此 这是一个矛盾， 故 是本原多项式。 定理1.9.1： 一个整系数n（n0）次多项式 在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。 证：充分性显然。 下证必要性。 设 可分解成 中两个次数都小于n的 多项式 与 的乘积，即有 设 的系数的公分母为m，则 一个整系数多项式，把 是 系数的公因式n 提出来， 是本原多项式， 即 同理，存在有理数S，使 也是本原多项式， 于是 下证 是一个整数， 设 （p,q互素且p0）， 由于 是整系数多项式， 故p能整除q与 的每一系数的乘积， 而p,q互素，故p能整除 的每一系数， 但由引理1知， 是本原多项式， 故p=1，从而rs是一个整数。 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上不可约多项