学科教学的水平演变与教师学习.pptVIP

顾泠沅 上海市教育科学研究院 （香港，2007年11月29日） 例如：勾股定理 (2) 反驳与证明的师生对话 [生1 ] 根据数据表,我得出c2=2ab+1的结论。 [ 师] [很惊讶]怎么会,不可能吧? [生2 ] 我做过a=2,b=4的例子,这时2ab=16,c2=20,c2≠2ab+1。 [ 师] 生2用举例来“反驳”,有说服力,c2=2ab+1这一结论不能成立。 [生3 ] 老师,当a与b相差1的时候,这个结论还是成立的。 [ 师] [心中想 c2=(a-b)2+2ab,b-a=1时,c2=2ab+1]这个意见也是对的,这是一个有条件的结论。好,下面我们来看看另外一个结论a2+b2=c2。 [生4] 这个结论对前面已举过的图例来说都是成立的,但是我想,即使100个例子都正确,101个例子不成立了呢?所有例子都成立才是定理,只要有1个例子不成立还是个有条件的结论。 [ 师] a2+b2=c2是否是个定理,举例再多也说明不了,怎么办? [生众] 看来必须证明。 数学学科的总领性观念 ① 数学的对象不外“数”与“形”，虽然近代的观念，已与原始的意义相差甚远。 ② 数学的主要方法，是逻辑的推理。因之建立了一个坚固的思想结构。 ③ 这些结果会对其他学科有用，是可以预料的。但应用远超过了想象。数学固然成了基本教育的一部分。其他科学也需要数学作理想的模型，从而发现相应科学基本规律。 ——摘自陈省身为《数学百科全书》所写的序. （中译五卷本，科学出版社出版.） 1、把握最有学习价值的知识 坚持为理解而教 自美国NCTM在2000年发表 《学校数学的原理和标准》，明确提出“概念性理解是掌握数学必不可少的组成部分”以来，国际上为了理解的数学教学一直倍受重视。正如大数学家柯朗所说：“数学的教学，逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练，固然这可以发展形式演算的能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考的能力。” ——柯朗著（王浩，朱煜民译)：数学是什么． 长沙：湖南科学技术出版社,1984. （1）例如：正方形的定义和性质 边讲边问没有摆脱全面灌输： 一年后重新设计： 105次填空式问答（由低到高设计），记忆问题占74.3%，简单推理占21.0%，小步、多练、快进，未留思考空间给学生。 教师：“ 讲是给学生知识，问是看他们收到没有”。 弄清图形之间关系，学生思维水平提升，变繁琐为简单。 学生：“原来那么多性质不需要死记硬背”。 2、提高效率的奥秘： 了解学生容易理解或误解之处 （2）例如：类比迁移 通过迁移容易理解 注意易生误解之处 分式 根式 相似三角形 不等式（一次） （二次） 二次曲线 …… 分数 数的开方 全等三角形 方程（一次） （二次） 二次方程（函数） …… 分母不能为零 注意符号 相似比 两边同乘负数 根与解集 对应关系 …… （1）旧知中引发冲突 师：如何对x6－1分解因式？ 学生板演的两种解法： x6－1=(x3)2-1=(x3+1)(x3-1) =(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1) x6－1= (x2)3-1=(x2-1)(x4+x2+1) =(x+1)(x-1)(x4+x2+1) 问题：同一题目，两种方法做怎么答案不一样呢？ 3、纵横连贯才能纳入“坚固的思想结构” 例如：拆添项法分解因式 （2）在演算中蕴含新知 师：看看(x4+x2+1) 是否与(x2-x+1)(x2+x+1)相等呢？ 学生的验算： (x2-x+1)(x2+x+1)=[(x2+1)-x][(x2+1)+x] =(x2+1)2-x2 =x4+2x2+1-x2 = x4+x2+1 师：由上面的验算可知， (x4+x2+1) 确实能分解成(x2-x+1)(x2+x+1). 请同学们试试看，谁能最快发现新的分解方法？ 生4： x4+x2+1 =x4+2x2+1-x2＝…… 师：你为什么把 x2 拆成 2x2 与 -x2 两项呢？ 生4：因为这样一拆，前面三项正好是完全平方，可以用分组分解继续分解下去。 让学