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第届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初二组） 时间2015年 月 日） 一、填空题 (每小题10分，共80分) 1．，是______． 【答案】 ． 【解答】 较大．要证，即，，只需证，，显然成立，故较大． 解法二：， ，通过估值得，，故较大． 2．记，2015的余数______． 【答案】0． 2015=5×13×31，而含有因数5，13，31，所以被2015整除；又中含有因数10=2×5，26=2×13，62=2×31，所以也被2015整除. 【解答】 其中n为某整数，因此 N是2015的倍数，所以余数是0． ．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=5．反比例函数分别与AB和BC交于E和F点．等于______． 【答案】． 【解答】：， 所以 =． ．．． 【解答】和的最大公约数是d，则有 由此，我们有 d=3，y-x=1，y+x=5，y=3，x=2，n=19; 4)d=5，y-x=1，y+x=3，y=2，x=1，n=8. 所以，n的最大可能值是56． 【解答】, 则 , 即 . 又知A是一个完全平方数, 由勾股定理可知, x, , 是某一个直角三角形的三边, 且 是斜边, 欲使n最大就是使x最大, 由于它们围起一个直角三角形, 所以, 取, 则, 所以. 此解是整数满足题意, 本题的解是. 5．用表示不超过实数的最大整数方程． 【答案】． 【解答】 设 ，为整数．则 ．由 得到 ．当 时， 当 时，．． ．如图，直角三角形ABC中，三角形AD， 三角形BED和三角形CFE分别是以A，B，C为顶点的等腰三角形，AC=17厘米，BC=15厘米，三角形DEF的面积是______． ． 解答由勾股定理，AB=（厘米），三角形ABC的面积=60平方厘米． 设厘米，厘米，厘米，由题目条件有： ， 解上述方程组，可得：． 考虑得 三角形AD的面积三角形的面积 考虑得 三角形A的面积三角形的面积 三角形AD的面积 = 三角形ABC的面积平方厘米 同理，直角三角形BED的面积=平方厘米 三角形CFE的面积 =三角形ABC的面积平方厘米． 得到: 三角形DEF的面积 = （平方厘米）． 由勾股定理，AB=（厘米），三角形ABC的面积=60平方厘米． 设厘米，厘米，厘米，由题目条件有： ， 解上述方程组，可得：． ADF, 三角形BED和三角形CFE分别是以A, B, C为顶点的等腰三角形，这三条垂线交于三角形三内角的平分线的交点，记为O。 过D作DO垂直AB，DO与角A的平分线交于点O，连接OF，由于AD=AF，OF垂直于AC，且OD=OF。所以，O在DF的垂直平分线上。 分别作DE, DF, EF的垂直平分线, 垂直平分线的交点记为O 分别连接OD, OE, OF. 由于三角形ADF, 三角形BED和三角形CFE分别是以A, B, C为顶点的等腰三角形, 所以O为角A，角B和角C的平分线的交点。所以OD=OE=OF 矩形BEOD是正方形 , 由勾股定理, , . 由三角形面积公式得 , . 由勾股定理, 三角形ODF, 三角形OEF的高分别为 , , 三角形ODF, 三角形OEF的面积分别为 , , 故三角形DEF的面积为 , 即(平方厘米). 7．设为实数的最小值． ． 当，即时，是最小值． ．在右图的顶点处标上1或，共有4个1和4个，将每个四边形4个顶点处的数相乘，再将所得的所有的积相加，至多有______个同． 4个． 解答称四边形4个顶点的积为“顶点积”，“顶点积” 8个顶点处所标的数记为，其中有4个1，4个，称四边形4个顶点的积为“顶点积”，只能是1或．将6个“顶点积”相乘，得：，说明6个“顶点积”中，积为的个数是偶数，可能的个数是0,2,4和6，则6个“顶点积”的不同的和至多有4个，分别是，，2和6． 能否有4个不同的和？下图是6个“顶点积”的和分别是6，2，2和6，其顶点处1和1的放法． 取决于4个点中, 标1的个数或者的个数是偶数个或者奇数个．共8个标号, 无论怎么分, 围成两对面的点所含的个数的和为4, 它们所含的的个数一定是同奇偶的, 相对的面的点标号的积的和等于2或者． , , , . 不可能出现4, 因为假设是4, 一定出现, 要么是两个2, 一个, 或者是一个2, 两个, 或者三个, 和都不等于4, 与和为4的假设矛盾． , , 2和6, 如前面解法所示． 10分, 共40分, 要求写出简要过程） 9．，求的值． 解答 ，那么 又， 而， 所以，． ．中，，，，求三角形的面积． 因为 三角形是锐角三角形,点 落在线段内部． （2）以为对称轴将三角 形翻折到三角形的位置, （即△≌△）,所以 （3）因此 而所以 （4）在直角△中应用勾股定理: （5）设则在直角