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公式在因式分解中的应用
公式在因式分解中的应用
将五个乘法公式的左右两边反过来，就得到因式分解的五个公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）（）a2±2ab+b2=（ab）2（）
a、b可以是一个数，一个含字母的单项式，也可以是一个多项式．这些公式在因式分解中占有极为重要的地位．它们在因式分解中的应用反映在以下几个方面：
1．直接运用公式
例1把下列各式分解因式：
（1）a6-b6
（2）8an+an-3
（3）24x4n+3-54x2n+3
（4）（ab+1）2-（a+b）2
（5）（a2+b2-c2）2-4a2b2
（6）-16x4+24x2y-9y2
（8）（x+3）2+2（x2-9）+（x-3）2
解：
（1）=（a3+b3）（a3-b3）=（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）
（）
（2）=an-3（8a3+1）
=an-3（2a+1）（4a2-2a+1）
（3）=6x2n+3（4x2n-9）
=6x2n+3（2xn+3）（2xn-3）
（4）=（ab+1+a+b）（ab+1-a-b）
=（a+1）（b+1）（a-1）（b-1）
（5）=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）
=[（a+b）2-c2][（a-b）2-c2]
=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）
（6）=-（16x4-24x2y+9y2）
=-（4x2-3y）2
（8）=（x+3）2+2（x+3）（x-3）+（x-3）2
=（x+3+x-3）2
=4x2
2
例2把下列各式分解因式：
（1）x2+10xy-70y-49
（2）8x3+12x2-6x-1
（3）4a2-9b2-4a+1
（4）
（5）9x2+4y2-1-25z2+12xy+10z
（6）x3+x2+xy-6y2-8y3
（7）7x-x2-21y+6xy-9y2
（8）x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2
解
（1）=（x2-49）+（10xy-70y）=（x+7）（x-7）+10y（x-7）
=（x-7）（x+10y+7）
（2）=（8x3-1）+（12x2-6x）
=（2x-1）（4x2+2x+1）+6x（2x-1）
=（2x-1）（4x2+8x+1）
（3）=（4a2-4a+1）-9b2
=（2a-1）2-9b2
=（2a-1+3b）（2a-1-3b）
（5）=（9x2+12xy+4y2）-（25z2-10z+1）=（3x+2y）2-（5z-1）2
=（3x+2y+5z-1）（3x+2y-5z+1）
（6）=（x3-8y3）+（x2+xy-6y2）
=（x-2y）（x2+2xy+4y2）+（x+3y）（x-2y）
=（x-2y）（x2+2xy+4y2+x+3y）
（7）=（7x-21y）-（x2-6xy+9y2）
=7（x-3y）-（x-3y）2
=（x-3y）（7-x+3y）
（8）=（x2+2xy+y2）+2z（x+y）+z2
=（x+y+z）2
3
例1把下列各式分解因式：
（1）4x4+1
（2）x4-6x2+25
（3）a4-2a2b-3b2+8b-4
（4）x4+x2+2ax+1-a2
解
（1）=（4x4+4x2+1）-4x2=（2x2+1）2-（2x）2
=（2x2+2x+1）（2x2-2x+1）
（2）=（x4+10x2+25）-16x2
=（x2+5）2-（4x）2
=（x2+4x+5）（x2-4x+5）
（3）=（a4-2a2b+b2）-（4b2-8b+4）
=（a2-b）2-（2b-2）2
=（a2-b+2b-2）（a2-b-2b+2）
=（a2+b-2）（a2-3b+2）
（4）=（x4+2x2+1）-（x2-2ax+a2）
=（x2+1）2-（x-a）2
=（x2+1+x-a）（x2+1-x+a）
把下列各式分解因式：
1．27m4+8m；
2．（x2+y2）2-4x2y2
3．4（a-b）2-12（b-a）c+9c2
4．x2（x2-9）+4（9-x2）
5．a4-x2+4ax-4a2；
6．x3-3x2y-3xy2+y3；
7．x5y-x3y-2x2y-xy；
8．x3+px2+px+p-1；
9．81a4+4b4；
10．x4+x2+25；
11．x2-6xy+9y2+8x-24y+16；
12．a2-b2+4a+2b+3．
答案
1．m（3m+2）（9m2-6m+4）2．（x+y）2（x-y）2
3．（2a-2b-3c）2
4．（x+3）（x-3）（x+2）（x-2）
5．（a2+x-2a）（a2-x+2a）
6．（x+y）（x2-4xy+y2）
7．xy（x2+x+1）（x2-x-1）
8．（x2+x+1）（x-1+p）
9．（9a2+6ab+2b2）（9a2-6ab+2b2）
10．（x2+3
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