2014鲁教A版高中数学必修四2.3.1《平面向量的基本定理及坐标表示》评估训练.docVIP

高中新课程数学（新课标人教A版）必修四《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》评估训练 双基达标　?限时20分钟?1．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是(　　)． A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．对空间任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1、λ2R C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1、λ2R D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对 解析　A正确，B错，这样的a只能与e1、e2在同一平面内，不能是空间任一向量；C错，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1、λ2是唯一的，而不是有无数对． 答案　A 2．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)． A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2解析　选项A、B、C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底． 答案　D 3．(2012·厦门高一检测)若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于(　　)． A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b C．λa＋b D.a＋b 解析　＝＋＝＋λ ＝＋λ(－)＝＋λ－λ， (1＋λ)＝＋λ， ＝＋＝a＋b. 答案　D 4．如图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________. 解析　＝－＝＋－ ＝a＋b－ ＝a＋b－× ＝a＋b－(a－b)＝a＋b. 答案　a＋b 5．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μR，则λ＋μ＝________.解析　设＝a，＝b， 则＝a＋b， ＝a＋b， 又＝a＋b， ＝(＋)，即λ＝μ＝，λ＋μ＝. 答案　 6．判断下列命题的正误，并说明理由． (1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、dR)，则a＝c，b＝d. (2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来． 解　(1)错误，当e1与e2共线时，结论不一定成立． (2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2. 因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾． 所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来． 综合提高　?限时25分钟?7．已知AD为ABC的中线，则等于(　　)． A.＋ B.－ C.－ D.＋ 解析　延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE，BE，则四边形ABEC是平行四边形，则 ＝＝(＋)＝＋. 答案　D 8．(2010·全国高考)在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)． A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析　如图，1＝2， ＝＝，＝＝ ＝(b－a)， ＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b. 答案　B 9．如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________． 解析　设＝a，＝b， 则＝(＋)＝a＋b， 又＝＋ ＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ＝a＋b. 根据平面向量基本定理消去λ整理得m＋n＝2. 答案　2 10．(2012·荆门高一检测)如图，平面内有三个向量、、.其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μR)，则λ＋μ的值为________． 解析　如图，以OA、OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.在RtOCD中，||＝2，COD＝30°，OCD＝90°， ||＝4，||＝2，故＝4， ＝2，即λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6. 答案　6 11．如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、，表示出来． 解　＝－＝－＝a－b， ＝－＝－－＝－b－(a－b) ＝－a＋b，＝－＝－(＋)＝(a＋b)． 12．(创新拓展)已知ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使MQ＝CM，证明：P、A、Q三点共线． 证明　 设＝a、＝b.由题意可知， ＝＋＝a＋2＝a＋2(－) ＝a＋2(－a)＝a＋b－2a＝b－a； ＝＋＝b＋2＝b＋2(－) ＝b＋2(－b)＝b＋a－2b＝a－