2014鲁教A版高中数学必修四3.2 《简单的三角恒等变换》一课一练2.docVIP

3.2 简单的三角恒等变换 一、选择题： 1．已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（ ） A．－ B．－ C． D． 2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 3．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ） A．－ B．－ C． D． 4．已知sin（α+β）sin（β－α）=m，则cos2α－cos2β等于（ ） A．－m B．m C．－4m D．4m 二、填空题 5．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________． 6．已知α－β=，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________． 三、解答题 7．求证：4cos（60°－α）cosαcos（60°+α）=cos3α． 8．求值：tan9°+cot117°－tan243°－cot351°． 9．已知tan，tanαtanβ=，求cos（α－β）的值． 10．已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求tan（α+β）的值． 11．已知f（x）=－+，x∈（0，π）． （1）将f（x）表示成cosx的多项式； （2）求f（x）的最小值． 12．已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B，，求cos的值． 13． 已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b， 求证：（2cos2A+1）2=a2+b2． 14． 求证：cos2x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin2α． 15． 求函数y=cos3x·cosx的最值． 参考答案 一、选择题 1．C 2． B 3． D 4． B 二、填空题 5． 6．－ 三、解答题 7．证明：左边=2cosα［cos120°+cos（－2α）］ =2cosα（－+cos2α） =－cosα+2cosα·cos2α =－cosα+cos3α+cosα =cos3α=右边． 8．解：tan9°+cot117°－tan243°－cot351° =tan9°－tan27°－cot27°+cot9° = = ==4． 9．解：∵tanαtanβ=， ∴cos（α－β）=－cos（α+β）． 又tan，∴cos（α+β）=， 从而cos（α－β）=－×（－）=． 10．解：，由和差化积公式得=3， ∴tan=3，从而tan（α+β）=． 11．解：（1）f（x）==cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1． （2）∵f（x）=2（cosx+）2－，且－1≤cosx≤1， ∴当cosx=－时，f（x）取得最小值－． 12．分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知B=60°，A+C=120°， ∵－=－2， ∴=－2． 将上式化简为cosA+cosC=－2cosAcosC， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2coscos=－［cos（A+C）+cos（A－C）］， 将cos=cos60°=，cos（A+C）=cos120°=－代入上式得cos=－cos（A－C）， 将cos（A－C）=2cos2（）－1代入上式并整理得4cos2（）+2cos－3=0， 即［2cos－］［2cos+3］=0． ∵2cos+3≠0，∴2cos－=0． ∴cos=． 13．证明：由已知得 ∴ 两式平方相加得（2cos2A+1）2=a2+b2． 14．证明：左边=（1+cos2x）+［1+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α） =1+［cos2x+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α） =1+cos（2x+α）cosα－cosα［cos（2x+α）+cosα］ =1+cos（2x+α）cosα－cosαcos（2x+α）－cos2α =1－cos2α=sin2α =右边， ∴原不等式成立． 15．解：y=cos3x·cosx =（cos4x+cos2x） =（2cos22x－1+cos2x） =cos22x+cos2x－ =（cos2x+）2－． ∵cos2x∈［－1，1］， ∴当cos2x=－时，y取得最小值－； 当cos2x=1时，y取得最大值1． 5