（曲线和方程）习题九.docVIP

1.动点M到定点A（0，3）的距离等于它到定直线y=-1的距离，求动点M的轨迹方程. 分析：依据求曲线方程的步骤求解. 解：设轨迹上的任一点为M（x,y)，作MN垂直于直线y=-1于点N， 则由｜MN｜=｜AM｜ 得｜y+1｜= 整理：y=x2+1 ∴所求轨迹方程为：y=x2+1. 如图所示： 2.已知点A（-a,0）,B(a,0),(a∈R+)，若动点M与两定点A、B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程. 分析：先依题意画出草图，帮助分析，然后按求曲线方程的步骤求解. 解：如图，设点M的坐标为M（x,y) 由AM⊥BM 得kAM·kBM=-1. 即x2+y2=a2 ∵M、A、B三点构成三角形 ∴M、A、B三点不共线，点M的纵坐标y≠0，从而得x≠±a. ∴所求轨迹的方程为： x2+y2=a2(x≠±a) 3.已知平面上两个定点A、B之间的距离为2a，点M到A、B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程. 分析：因已知条件中未给定坐标系，所以需“恰当”建立坐标系，考虑到对称性，由｜AB｜=2a,选A、B两点所在的直线为x轴，AB中点为坐标原点.A（-a,0）,B(a,0)，再求解. 解：如图，以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立坐标系. ∵｜AB｜=2a. ∴设A(-a,0),B(a,0),M(x,y) ∵｜MA｜∶｜MB｜=2∶1 ∶ =2∶1 =2 化简，得（x-a)2+y2=a2 ∴所求动点M的轨迹方程为 （x-a）2+y2=a2. 4.一个动点P与两定点A、B的距离的平方和为122，｜AB｜=10,求动点P的轨迹方程. 分析一：因两定点A、B的距离｜AB｜=10,选A、B所在直线为x轴，原点为AB的中点，建立坐标系. 解法一：建立坐标系，使AB在x轴上，原点为AB的中点， ∵｜AB｜=10,∴A(-5,0)、B(5,0) 设动点为P（x,y) 依题意｜PA｜2+｜PB｜2=122，得 （x+5)2+y2+(x-5)2+y2=122. 化简，x2+y2=36. 分析二：取A、B所在直线为x轴，A为坐标原点，因｜AB｜=10,则B（10，0），然后依题设条件，列出方程. 解法二：建立直角坐标系，使AB在x轴上，原点为A点， ∵｜AB｜=10，则B（10，0）， 设动点P（x,y). 依题意，得x2+y2+(x-10)2+y2=122 化简：x2+y2-10x-11=0. 评述：不难发现，在上面两种解法中，由于选取直角坐标系的不同而导致曲线的繁简程度不一.解法一中利用对称性，取AB中点为坐标系的原点，解法二中直接将线段AB的左端点取为坐标系的原点，解法一的方程比解法二的方程简洁，但不能由此断定任何情况下，取线段中点为坐标系的原点就是最恰当的，上面例3中，如取A（-,0）,B(-,0)，则曲线方程为x2+y2=a2.