（曲线和方程）例题（四）.docVIP

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2017-08-25 发布于河南
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（曲线和方程）例题（四）.doc

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［例1］设A、B两点的坐标是(1，0)、(-1,0),若kＡＢ·ｋＭＢ＝－１，求动点M的轨迹方程. 选题意图：考查求轨迹方程的基本方法. 解：设M的坐标为(x,y)，M属于集合P=｛Ｍ｜ｋＭＡ·ｋＭＢ＝－１｝.由斜率公式，点M 所适合的条件可表示为，整理后得x２+y２=1(x≠±1). 下面证明x２+y２=1(x≠±1)是点M的轨迹方程. (1)由求方程的过程可知，M的坐标都是方程x２+y２=1(x≠±1)的解； (2)设点M１的坐标(x１,y1)是方程x２+y２=1(x≠±1)的解，即，由上述证明可知，方程x２+y２=1(x≠±1)是点M的轨迹方程. 说明：所求的方程ｘ２＋ｙ２＝１后面应加上条件ｘ≠±１. ［例2］点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程. 选题意图：考查求轨迹方程的基本方法. 解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示，设点M的坐标为(x,y)，点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P=｛Ｍ｜｜ＭＲ｜＝｜ＭＱ｜｝，其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足. 因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件｜ＭＲ｜＝｜ＭＱ｜可写成｜ｘ｜＝｜ｙ｜即x±y=0 ① 下面证明①是所求轨迹的方程. (1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解； (2)设点M１的坐标(x１，ｙ１)是方程①的解，那么x１±ｙ１＝０，即｜ｘ１｜＝｜ｙ１｜，而｜ｘ１｜、｜ｙ１｜正是点M１到纵轴、横轴的距离，因此点M１到这两条直线的距离相等，点M１是曲线上的点. 由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如图所示. 说明：建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单.所求方程的形式较“整齐”.