（曲线和方程）例题（二）.docVIP

例1 过定点A（a,b），任作互相垂直的直线l1和l2，分别与x轴、y轴交于M、N点，求线段MN中点的轨迹方程. 说明：要求学生注意求解曲线轨迹方程一般步骤的应用. 解：设线段MN的中点为P（x,y），则点M（2x,0）,N(0,2y). 根据勾股定理得 |AM|2+|AN|2=|MN|2 即（a－2x）2+b2+a2+(b－2y)2=(2x)2+(2y)2 化简得 2ax+2by－a2－b2=0 例2 动点B在直线y=2x上滑动，x轴上有一定点A（3，0），求△OAB的重心G的轨迹方程. 分析：在曲线轨迹方程求出之后，应注意应根据题意考查特殊点是否符合题意. 解：设△OAB的重心G（x,y），B（x1,y1）, 则x= ∴x1=3x－3,y1=3y 又∵点B（x1,y1）在直线y=2x上 ∴3y=2(3x－3) 即2x－y－2=0 此直线平行于直线y=2x， 与x轴交点（1，0）不符题意，应除去. 所以所求重心轨迹方程为：2x－y－2=0(x≠1) ●相关高考真题 例1 （1999全国）如图，给出定点A（a,0）（a＞0,a≠1）和直线l：x=－1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系. 解法一：依题意，记B（－1，b）(b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx.设点C（x,y），则有0≤x＜a,由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得 ① 依题设，点C在直线AB上，故有. 由x－a≠0,得 ② 将②式代入①式得 整理得 若y≠0，则（1－a）x2－2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a） 若y=0，则b=0,∠AOB=π，点C坐标为（0，0）满足上式.故点C的轨迹方程为 （1－a）x2－2ax+(1+a)y2=0 (0≤x＜a) ∵a≠1 ∴ （0≤x＜a） 由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段. 解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足. （ⅰ）当|BD|≠0时，设点C（x,y），则0＜x＜a,y≠0. 由CE∥BD.得|BD|= ∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD， ∴2∠COA=π－∠BOD 整理得(1－a)x2－2ax+(1+a)y2=0 （0x＜a） (ⅱ)当|BD|=0时，∠BOA=π，则点C坐标为（0，0），满足上式，综合（ⅰ），（ⅱ）得到C的轨迹方程为 （1－a）x2－2ax+(1+a)y2=0 （0x＜a 以下同解法一. 例2（1995年全国）已知椭圆直线l：x=12，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 解：设点P、Q、R坐标分别为（12，yP）,(x,y)，（xR,yR）, 由题设知：xR＞0,x＞0. 由点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组 解得 由点O、Q、P共线，得 即 ③ 由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得 将①、②、③代入上式，整理得点Q的轨迹方程：(x＞0) 所以，点Q的轨迹是以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和，且长轴在x轴上的椭圆，但去掉坐标原点. 说明：此题虽与学生学习进度不符，但求解过程体现求曲线轨迹的思路，供教师参考. —2— ① ②