（平移）典型例题（二、向量运算(二)、平移）.docVIP

典型例题 ［例1］求证：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和. 证法一：如图，ABCD中，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2 设=b, =a,AC2=||2=(a+b)2=a+b+2a·b ① BD2=||2=(a-b)2=a+b-2a·b ② ①+②，得 AC2+BD2=2a2+2b2=AB2+BC2+CD2+DA2 故原命题得证. 证法二：如图，建立直角坐标系，设A(m,n),C(p,0), 则=(m,n) ∴D(p+m,n) ∴有AB2=CD2==m2+n2, DA2=BC2==p2 ∴有AB2+BC2+CD2+DA2=2(m2+n2+p2) 又∵BD2==(p+m)2+n2 AC2==(m-p)2+n2 ∴有BD2+AC2=(p+m)2+n2+(m-p)2+n2 =2(p2+m2+n2) ∴原命题成立. 评析:求解有关向量问题,可利用向量的加减法运算法则,也可利用向量的坐标运算进行. ［例2］已知△ABC的三项点坐标分别为A(1，1)，B(5，3)，C(4，5)，直线l∥AB,交AC于D，交BC于E，且直线平分△ABC的面积，求D点坐标. 分析：因∥AB且平分△ABC的面积，故可找到D、E分别分所成的比λ,由定比分点坐标公式，可求出D点坐标. 解：如图，由题可知 S△CDE∶S△CAB=1∶2且DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB. ∴CD∶CA=1∶ ∴点D分DA所成的比λ= 设D(x,y),则由定比分点坐标公式，有 ∴D点坐标为［］. ［例3］把函数y=2x2-4x+5的图象按a平移，得到y=2x2的图象，且a⊥b，c=(1,-1),b·c=4,求b的坐标. 解法一：由题可知，y=2x2-4x+5=2(x-1)2+3 其顶点坐标为(1，3)，平移后其对应的图象y=2x2的顶点为(0，0)，设a=(h,k),则有 ∴a=(-1,-3). 设b=(x,y)则有a⊥b-x-3y=0 ① b·c=0x-y=4 ② 由①②解得，∴b=(3,-1) 解法二：设a=(h,k),在函数y=2x2-4x+5的图象F上任取一点P(x,y),它在平移后的图象F′上的对应点为P′(x′,y′)，则由平移公式有， 因为P′(x′,y′)在F′上，代入可得，y+k=2(x+h)2 即：y=2x2+4hx+2h2-k 对照平移前函数解析式，有 ，解得 ∴a=(-1,-3) (下同解法一).