（平面向量数量积的坐标表示）典型例题（一、向量的概念与性质、向量运算(一)）.docVIP

典型例题 ［例1］判断下列各题是否正确： (1)向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上； (2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； (3)四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB[TX→]=DC[TX→]; (4)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同； (5)已知λ、μ∈R,λ≠μ,则(λ+μ)a与a共线； (6)△ABC中，必有++=0； (7)若a≠b,则|a|≠|b|. 解析：(1) ∥，直线AB和CD可以共线，也可以平行，故不正确. (2)若一个是零向量，其方向不确定，故不正确. (3)四边形ABCD是平行四边形ABCD= (4)若a+b=0时，命题不成立. (5)正确. (6)正确. (7)由于单位向量的模都相等，故不正确. ［例2］如图，OADB是以向量=a, =b为边的平行四边形，又BM=，CN=，试用a，b表示，，. 分析：要用a，b表示，可把放在某个三角形中来考虑. 在△OMB中，=b，若能用a，b表示出，则就可用a，b表示出来，类似地可求出，就出来了. 解： . 评析：平面上的任一向量都可以用两个不共线的向量来惟一表示. ［例3］试证：以O点为始点的三个向量a、b、c的终点A、B、C在同一条直线上的充要条件是c=αa+βb(α、β∈R,α+β=1) 分析：用向量的方法证三点共线，只需证两点，一是证此三点中的任意两点构成的两个向量共线，二是说明这两个向量有公共点，即可得三点共线的结论. 证明：(1)必要性： 若A、B、C在同一直线上，则存在实数λ,使=λ,所以=λ(),即c-a=λ(b-a),整理得c=(1-λ)a+λb,令α=1-λ,β=λ,则α+β=1,c=α a+β b成立. (2)充分性： 若c=αa+βb且α+β=1,则c=αa+(1-α)b, 所以c-b=α(a-b),所以=α(),所以=α·,所以与共线，又B点为公共点， ∴A、B、C三点共线.