（两条直线的位置关系）习题十六.docVIP

一、两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系与二元一次方程组的关系. (1)若二元一次方程组有惟一解，即有惟一解，则l1，l2相交. (2)若二元一次方程组无解，则l1∥l2. (3)若二元一次方程组有无数个解，则直线l1与l2重合. 二、两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A2，B2，C2全不为0)的位置关系与方程系数的关系： (1)l1∥l2， (2)l1，l2相交， (3)l1，l2重合. 三、参考例题 ［例］两条直线y＝kx＋2k＋1和x＋2y－４＝0的交点在第四象限，则k的取值范围是( ) A.（－6，2） B.（－，0） C.（－，－） D.（，＋∞) 解法一：解方程组 得交点为(－） ∵此点在第四象限 ∴ ∴－，故选C. 解法二：如图，直线x＋2y－４＝0与x轴的交点是A（4，0），方程y＝kx＋2k＋1表示的是过定点P（－2，1）的一组直线，其中PB为过点P且与x＋2y－４＝0平行的直线. 由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间，其余率 kPB＜k＜kPA 而kPA＝－，kPB＝－， 所以－＜k＜－ 故选C. 评述：有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的方法解决，让学生予以体会. 四、直线系方程及其应用 若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0或A2x＋B2y＋C2＋λ（A1x＋B1y＋C1）＝0(λ为常数). ［例1］求证：不论m为什么实数，直线(m－1)x＋（2m－1）y＝m－5都通过一定点. 证法一：取m＝1，得直线方程y＝－４；再取m＝，得直线方程为x＝9. 从而得两条直线的交点为(9，－４），又当x＝9，y＝－４时，有(m－1）9＋（2m－1）·（－４）＝m－5 即点(9，－４）在直线(m－1）x＋（2m－1）y＝m－5上，故直线(m－1）x＋（2m－1）y＝m－5都通过定点(9，－４）. 证法二：∵（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5，∴m（x＋2y－1）－（x＋y－5）＝0， 则直线(m－1）x＋（2m－1）y＝m－5都通过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点. 由方程组 解得x＝9，y＝－４，即过点(9，－４） 所以直线(m－1）x＋（2m－1）y＝m－5经过定点(9，－４). 证法三：∵（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5， ∴m（x＋2y－1）＝x＋y－5 由m为任意实数，知关于m的一元一次方程m（x＋2y－1）＝x＋y－5的解集为R， ∴ 解得x＝9，y＝－４ 所以直线(m－1）x＋（2m－1）y＝m－5都通过定点(9，－４）. ［例2］若a＋b＋c＝0，求证直线ax＋by＋c＝0必经过一个定点. 证明：由a＋b＋c＝0，且a、b不同时为0，设b≠0，则a＝－（b＋c）. 代入直线方程ax＋by＋c＝0 得(x－y）＋（x－1）＝0. 此方程可视为过直线x－y＝0与x－1＝0的交点的直线系方程. 解方程组 得x＝1，y＝1即两直线交点为(1，1），故直线ax＋by＋c＝0过定点(1，1). 五、点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解 ［例1］已知点A的坐标为(－４，４），直线l的方程为3x＋y－2＝0，求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线l关于点A的对称直线l′的方程. 解：(1)设点A′的坐标为（x′，y′）. 因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l上，而直线l的斜率是－3，所以kAA′＝. 又因为kAA′＝. 再因为直线l的方程为3x＋y－2＝0，AA′的中点坐标是()，所以3·－2＝0. 由①和②，解得x′＝2，y′＝6. 所以A′点的坐标为(2，6). (2)关于点A对称的两直线l与l′互相平行，于是可设l′的方程为3x＋y＋c＝0. 在直线l上任取一点M(0，2），其关于点A对称的点为M′（x′，y′），于是M′点 在l′上，且MM′的中点为点A，由此得 ，即：x′＝－８，y′＝6. 于是有M′（－８，6）.因为M′点在l′上，所以 3x（－８）＋6＋c＝0 ∴c＝1８ 故直线l′的方程为3x＋y＋1８＝0 ［例2］光线由点A(－1，4）射出，遇到直线l：2x＋3y－6＝0后被反射，已知其反射光线过点B(3，)，求反射光线所在直线的方程. 解：设点A关于l的对称点为A′（x0，y0），则 即 所求直线方程为y－（x－3），即13x－26y＋８5＝0