函数奇偶性的判断与应用.pdfVIP

维普资讯 2004年第4期 河北理科教学研究 ’口]题讨论 函数奇偶性的判断与应用 江苏省盐城纺织职业技术学院 潘晓鸣 在解有关函数的问题中，若能准确地判 厂()≠±厂()．女口“0”属于函数 厂()= + 断函数的奇偶性，就可利用奇(偶)函数的性 1的定义域，当 =0时，厂(一0)=厂(0)=1， 质缩小讨论的范围，给解题带来方便．下面根 这时厂(一 )=厂()． 据部分学生解判断函数奇偶性的题 目时常犯 综上所述，只有当两个条件都具备时，函 的错误，谈谈函数奇偶性的判断与应用． 数才具有奇偶性，否则函数称为非奇非偶函 1 函数奇偶性的判断 数．不过，奇函数、偶函数的概念不是矛盾命 1．1 奇(偶)函数定义的理解 题，存在这样的函数使得 厂(一 )=一厂() 奇(偶)函数的定义是判断函数奇偶性的 与厂(一 )=厂()均成立．所以，可将函数按 依据，从以下两个方面理解是十分重要的． 奇偶性划分为四类：①奇函数；②偶函数；③ 1．1．1 函数的定义域关于原点对称是一个 既奇且偶函数；④非奇非偶函数． 函数为奇(偶)函数的必要条件 函数是奇函数的充要条件是图象关于原 函数的定义域关于原点对称的情形大致 点对称，函数是偶函数的充要条件是图象关 有以下几种： 于Y轴对称． (I)定义域是 {一a，a}(其中a∈R )或 1．2 奇(偶)函数的判断方法 {I=丌，k∈Z}． 1．2．1 直接根据定义判断，适用于 f(一 ) (2)定义域是(一a，a)或[一a，a]或 与厂()容易比较的情形 (一∞，+o。)或(～∞，一a)U(a，+∞)，其 例1判断函数厂()=( +专) 中a∈R ． 的奇偶性． (3)定义域是{I≠±a，a∈R}，如{ 解：厂()的定义域为{I∈R且 ≠ I≠0}或{I≠ +7l，k∈Z}等． 0}，它关于原点对称． 1．1．2 对于函数定义域内任意一个 ，都有 · ‘ ． 厂(一 )=( + )(一 )= 厂(一 )=一厂()亘 厂(一 )=厂()． 这里要特别注意 “任意”二字，否则，判断 ( 一 =( +吉)X3= ) 函数的奇偶性将失去严密性．例如，判断函数 ．- ． 厂()是偶函数． 厂()= +1的奇偶性时，多数学生会这样 1．2．2 对函数变形后再判断，适用于函数形 来解：原函数的定义域是实数集 ，它关于 式比较复杂的情形．要强调的是变形必需是 原点对称，又 厂(一 )=一 +1，厂(一 )≠ 在原函数的定义域上进行，否则函数的定义 ±f()，故原函数为非奇非偶函数．这一结 域改变了，将会得出错误的结论． 论虽然正确，但解答有失严密性，事实上，并 例2 判断函数厂()= 的 不是对于函数定义域内任意一个 都有 · 14 · 维普资讯 2004年第4期 河北理科教学研究 问题讨论 奇偶性．