仿射坐标系在高中数学中的应用.pdfVIP

内江师范学院学报 第 23卷 · 184 · jc)URNAI(1FNE1JIANG NORMALUNI＼’ERSIT~ (2008) 仿射坐标系在高中数学中的应用 王 波 (内江铁路 中学 ． 四川 内江 641001) 摘 要 ：应用 “仿射坐标系”巧妙地解决了平面几何中的一些线性 问题 ．如：平行问题、共线共点问题、比 值 问题等 。 关键词 ：仿射坐标系；共线 ；共点 中图分类号：G633．65 文献标识码 ：A 文章编号：1671— 1785【2008)S2—0184—02 自有了笛卡尔坐标以来，在代数与几何之间建立 了紧密的联系，实现了“数”与 “形”的相互转化。中学平 面解析几何是建立在平面直角坐标系基础上的，而平 面直角坐标系，简单、直观，易于被中学生所接受。但有 时直角坐标系的建立不太灵活，显得很生硬，而且在直 角坐标系下解决有关问题时，运算量也很大，甚至个别 问题很难建立直角坐标系加以处理。如果建立更一般 的坐标系—— 仿射坐标系，常使问题得以简化。其实， 仿射坐标系在现行高中数学教材中已有体现，如平面 向量的一组基底，平面向量基本定理都蕴含了仿射坐 图 1 标系的思想 ，并且在适当的时候，介绍 “仿射坐标系”的 B(0，1)，由AM ：?馏 一2：1，ON ：NA一3：1，及定比 原理与简单的运用，中学生也不是不能接受的。现将仿 分点坐标公式，可得M (去1，告n)，N(÷n，0)，则直线 射坐标系介绍如下： 1) 在平面上取定点O与两不共线矢量 e，e，那么 Ov／、BN的方程分别为： 它们就构成了平面上的仿射坐标系 {o；e，e。)。通过 2x— Y一 0，4x十 3y一 3=：：0。 平面向量基本定理 ，平面上的任意矢量 r可 以表示 设 P(x， )，联立方程组，得 3 3 为el，e2的线性组合，即r= zel+ye2，这样平面上 z一 ’一 i’ 的任意矢量r与有序实数对 (z， )之间建立起一一 故0P一 n+ b。 对应关系，而平面上的任意点 P，通过径矢OP也与 上U 有序实数对 (， )建立起一一对应 ，有序实数对 例 2 如图2，点D、 ( ， )就是点 P在坐标系中的坐标 ，也是矢量OP E、F分别是△ C的边 的坐标n]。下面举例说 明仿射坐标系在高中数学 中 AB、t3C、CA 的中点，求 的妙用 ： 证：三 中线 能 、BF、CD 相交于同一点G。 例 1 在 △ABC中， 一n，∞ 一b，点M 、点 证明 建立仿射坐 图2 N分别在AB、f 上，且AM ： ：2：l，ON ： 标系{B；13C，BA)，则 B(O，0)，A(O，1)，C(1，0)，由中点 一 3：1， 与BN 交于点P，用 。b表示()P。 坐标公式，得 ： 解 建立如图1所示的仿射坐标系，则A(1，O)， 收稿 日期 ：2008一ll～2O 作者简介 ：王波(1976一)