2025高中数学第一轮基础练习 8.5　空间角与距离、空间向量及其应用（含答案）.docxVIP

2025新教材数学高考第一轮复习

8.5空间角与距离、空间向量及其应用

五年高考

考点1用向量法判定空间中的位置关系

(多选)(2021新高考Ⅱ,10,5分,中)如图,下列各正方体中,O为下底面的中心,M,N为正方体的顶点,P为所在棱的中点,则满足MN⊥OP的是()

考点2空间角与距离

1.(2022全国甲,7,5分,中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则()

A.AB=2AD

B.AB与平面AB1C1D所成的角为30°

C.AC=CB1

D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°

2.(2023全国乙理,9,5分,中)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形.若二面角C-AB-D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()

A.1

3.(多选)(2022新高考Ⅰ,9,5分,中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则()

A.直线BC1与DA1所成的角为90°

B.直线BC1与CA1所成的角为90°

C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°

D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

4.(2020新高考Ⅰ,20,12分,中)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.

(1)证明:l⊥平面PDC;

(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

5.(2022新高考Ⅱ,20,12分,中)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.

(1)证明:OE∥平面PAC;

(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

6.(2023新课标Ⅰ,18,12分,中)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)证明:B2C2∥A2D2;

(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.

7.(2023新课标Ⅱ,20,12分,中)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.

(1)证明:BC⊥DA;

(2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F

8.(2023北京,16,14分,中)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=3.

(1)求证:BC⊥平面PAB;

(2)求二面角A-PC-B的大小.

9.(2022新高考Ⅰ,19,12分,中)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为22.

(1)求A到平面A1BC的距离;

(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.

10.(2022全国乙理,18,12分,中)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.

(1)证明:平面BED⊥平面ACD;

(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.

11.(2021全国甲理,19,12分,中)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.

(1)证明:BF⊥DE;

(2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?

三年模拟

综合拔高练1

1.(2024届山东潍坊安丘三区县检测,5)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为()

A.3

2.(2024届江苏南京第一中学月考,8)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱C1D1上的一动点,记直线BC1与平面A1BE所成的角为θ,则cosθ的最小值为()

A.12

3.(2023河南郑州一模,10)在如图所示的实验装置中,两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都为1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记CM=BN=a(0a2).则下列结论错误的是()

A.该模型外接球的半径为3

B.当a=12时,MN

C.异面直线AC与BF所成的角为60°

D.MN∥平面BCE

4.(2024届山东滨州新高考联合质量测评,19)如图,在多面体ABCDFE中,四边形ABCD与ABEF均为直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,DA⊥平面ABEF,