26高考数学提分秘诀重难点28直线与圆的综合（举一反三专项训练）（全国通用）（含解析）.docxVIP

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重难点28直线与圆的综合

【全国通用】

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【题型1直线与圆的位置关系】 2

【题型2圆的弦长与中点弦问题】 3

【题型3圆的切线及切线方程问题】 3

【题型4直线与圆中的面积问题】 4

【题型5直线与圆的位置关系求距离的最值】 5

【题型6阿波罗尼斯圆】 5

【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 6

【题型8直线与圆中的向量问题】 7

1、直线与圆的综合

直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、切线、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.

知识点1直线与圆相交时的弦长求法

1．圆的弦长的求法：

设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.

(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.

知识点2圆的切线及切线方程问题

1．自一点引圆的切线的条数：

(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

2．求过圆上的一点的圆的切线方程：

(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求

得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.

(2)重要结论：

①经过圆上一点P的切线方程为.

②经过圆上一点P的切线方程为.

③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.

知识点3阿波罗尼斯圆

1．阿波罗尼斯圆

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.

知识点4直线与圆中的最值与范围问题的解题策略

1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题的解题方法

直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

【题型1直线与圆的位置关系】

【例1】（2025·北京海淀·三模）已知圆C:x?12+y?22=25，直线l:mx?y?2m=0，则直线l与圆

A．0个 B．1个

C．2个 D．与m有关，不能确定

【变式1-1】（2025·北京·模拟预测）“a0”是“直线x?ay+2a?1=0(a∈R)与圆x2+y

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）直线l:x+ay?a=0与圆C:x2+

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的

【变式1-3】（2025·宁夏银川·二模）若直线x?y+m=0与曲线y=4?x2有公共点，则m

A．?2,2 B．?2,22 C．?2,22

【题型2圆的弦长与中点弦问题】

【例2】（2025·重庆·三模）直线l:3x?2y+5=0截圆

A．2 B．4 C．25 D．

【变式2-1】（2025·北京·三模）已知直线y=kx?3+1与圆x?12+y?22=25交于A

A．5 B．10 C．25 D．

【变式2-2】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知直线ax+3y+2=0与圆x2+y2=4交于A，B

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式2-3】（24-25高二上·山东日照·期中）已知圆C:x2+y2?4x?2y+1=0及直线l:y=kx?k+2k∈R，当直线l

A．x+y?3=0 B．x?y+3=0 C．x+y?1=0 D．x?y+1=0

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