上海市上海师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）.docxVIP

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上海市上海师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．复数的虚部是．

2．已知正实数、满足，则的最小值为．

3．已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为．

4．的二项展开式中，项的系数为．

5．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为．

6．一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是．

7．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为.

8．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为．

??

9．已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为.

10．已知动点是双曲线上的点，是双曲线的左、右顶点，设的面积为，则取值的集合为．

11．已知若存在，使得，的取值范围是.

12．定义在区间上的函数满足：①对任意，；②，若任意，则整数的值为．

二、单选题

13．已知向量，不共线，实数，满足，则（????）

A．4 B． C．2 D．

14．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（????）

A． B． C． D．

15．设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（????）

A．当时，的值为4

B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为

C．的最小值为3

D．的最大值为

16．设是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，有以下两个命题：①在上单调递减；②在区间上有3543个零点，则下列说法正确的是（????）

A．①是真命题，②是假命题

B．①是假命题，②是真命题

C．①、②都是真命题

D．①、②都是假命题

三、解答题

17．已知，函数.

(1)当时，求的值域；

(2)已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值.

18．已知.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若是函数的极小值点，求的取值范围.

19．某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与双车道的分界线相交于E、F，记

(1)若大卡车在转弯的某一刻，恰好，且A、B也都在双车道的分界线上，直线CD也恰好过路口边界O，求大卡车的车长AB；

(2)为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线.求此大卡车的车长AB的最大值.

20．已知椭圆，短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆W交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点：

(1)若的周长是，求椭圆的方程；

(2)若，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆的于点，以为直径的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标；

(3)若，求实数的取值范围.

21．定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．

(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；

(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；

(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．

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《上海市上海师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

A

B

B

A

1．

【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的概念即得.

【详解】，

故复数的虚部是.

故答案为：

2．2

【分析】利用基本不等式求出最小值即可.

【详解】正实数、满足，则，当且仅当