北京市第四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）.docxVIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

北京市第四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．椭圆的一个焦点为，则椭圆的短轴长为（???）

A． B．2 C． D．4

2．三角形中，，，，则边上的中线向量为（???）

A． B． C． D．

3．圆与圆的位置关系是（???）

A．相交 B．相离 C．外切 D．内含

4．直线的倾斜角为，且，则该直线不通过（???）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（???）

A． B． C． D．90°

6．过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（???）

A． B． C． D．

7．已知，，动点，则“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（???）

A．1 B． C． D．

9．棱长为1的正方体中，是的中点，点在正方体内部及表面上运动，满足平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（???）

A． B． C． D．1

10．已知，为圆上的不同两点，点，且.设弦的中点为，则三角形面积的最大值为（???）

A． B．4 C． D．

二、填空题

11．过点(1，3)且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线的方程是．

12．圆心在直线上，并且经过原点和的圆的方程为

13．若空间向量，，共面，则

14．椭圆的焦点为，，过作轴的垂线交椭圆于，两点，则的面积为.

15．已知椭圆恰好经过四个点，，，中的三个点，则符合条件的一个椭圆的标准方程是.

16．曲线与的交点个数是，曲线上的点到点的距离的最小值为.

17．如图，椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于不同两点，，其中点在第一象限.为的直角三角形.

（1）若，，则；

（2）若，则椭圆的离心率为

18．如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论：

①存在无数条直线平面；

②线段长度的取值范围是；????

③三棱锥的体积最大值为；

④若，分别为线段和的中点，设为线段的一条垂直平分线，则与所成最小角的正弦值为.其中正确的命题有.

三、解答题

19．如图，在三棱柱中，平面，,，点为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)求直线与平面的距离.

20．已知以点为圆心的圆与轴交于不同两点、，与轴交于不同两点、，其中为原点.

(1)当时，求圆在点处的切线方程；

(2)求证：的面积为定值；

(3)设直线与圆交于不同两点、，点.若，求圆的方程，以及弦长.

21．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别为，的中点.从条件①，条件②，条件③，这三个条件中选择两个作为已知，

(1)求与平面所成角的正弦值；

(2)线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

22．如图，椭圆经过点，离心率.

??

(1)求椭圆的方程；

(2)过右焦点的直线交椭圆于，（，均不与重合），直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，.求证：.

23．已知集合.对于集合的非空子集，如果存在两个元素，，满足，则称集合为集合的“好集合”.

(1)试判断，是否为的“好集合”，并说明理由；

(2)为的子集，且中元素均为偶数，证明：是的“好集合”；

(3)若的任意含有个元素的子集都是的“好集合”，求的最小值.

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

《北京市第四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

C

C

D

B

B

A

C

1．C

【分析】根据椭圆方程求，即可求解.

【详解】由条件可知，椭圆的焦点在轴上，且，，所以，

所以椭圆的短轴长.

故选：C

2．B

【分析】由中点坐标公式求得中点坐标，再由终点坐标减去起点坐标得到向量坐标.

【详解】中点，则.

故选：B.

3．A

【分析】利用圆与圆的位置关系判断.

【详解】圆的圆心为，半径，

圆的圆心为，半径，

则，，

所以圆与圆的位置关系是相交，

故