2026高一数学同步5.4.2　第1课时　周期性与奇偶性 （导学案）（原卷版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质

第1课时周期性与奇偶性导学案

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.

2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.

3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．

教学重点：1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.2.判断简单三角函数的奇偶性．

教学难点：1.函数最小正周期的意义.2.函数周期性与奇偶性的意义．

温故知新

知识点一函数的周期性

(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个，使得对每一个x∈D都有，且，那么函数f(x)就叫做周期函数.叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的，那么这个最小就叫做f(x)的．

知识点二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数

y＝sinx

y＝cosx

周期

2kπ(k∈Z且k≠0)

2kπ(k∈Z且k≠0)

最小正周期

奇偶性

导入1：音乐中的周期

教师播放一段钢琴曲《致爱丽丝》，提问：

“为什么我们能感知旋律的‘重复’？数学中用什么性质描述这种重复？”

导入2：游乐园的旋转木马

展示旋转木马视频，提问：

“木马的运动有什么规律？若木马高度h(t

同学们，在生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习．我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质．

探究点1：周期性的定义与求法

一、正弦函数、余弦函数的周期

问题1正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？

提示能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律．我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0,2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象．②诱导公式一，sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，对任意的k∈Z都成立．

探究：

类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质?

根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．

1．周期性

观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映，即自变量的值增加整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．

一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有

，

那么函数就叫做周期函数(periodicfunction)．非零常数叫做这个函数的周期(period)．

周期函数的周期不止一个．例如，，，，…，以及，，，…都是正弦函数的周期．事实上，且，常数都是它的周期．

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期(minimalpositiveperiod)．

根据上述定义，我们有：

正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是

类似地，余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是．

探究点2：奇偶性的判定与应用

二、正弦函数、余弦函数的奇偶性

问题2继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？

提示正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称．

知识梳理

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．

思考：

回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗?

2．奇偶性

观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于轴对称．这个事实，也可由诱导公式

得到．所以

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．

探究点3：周期性与奇偶性的综合

思考:

知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助?

探究与发现：

函数及函数的周期

从前面的例子中可以