2026高一数学同步4.4.2 第2课时 对数函数性质的应用（导学案）（解析版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.4.2第2课时对数函数的图象和性质

导学案

1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；

2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；

3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.

教学重点：1.利用对数函数的单调性解对数不等式、比较对数值大小。

2理解反函数的概念及指数函数与对数函数的互逆关系。

教学难点：1.解对数不等式时兼顾定义域和单调性（避免忽略真数大于0的条件）；

2.反函数概念的理解（尤其是定义域、值域的互换及图象对称性）。

知识点一反函数的概念

一般地，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为eq\o(□,\s\up1(01))反函数，它们的定义域与值域正好eq\o(□,\s\up1(02))互换．

知识点二指数函数与对数函数的关系

指数函数

对数函数

解析式

y＝ax(a＞0，且a≠1)

y＝logax(a＞0，且a≠1)

图象

定义域

R

(0，＋∞)

值域

(0，＋∞)

R

奇偶性

非奇非偶函数

非奇非偶函数

单调性

当a＞1时，单调递增；

当0＜a＜1时，单调递减

当a＞1时，单调递增；

当0＜a＜1时，单调递减

函数值的变化情况

当a＞1时，若x＞0，则y＞1；若x＜0，则0＜y＜1.当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜y＜1；若x＜0，则y＞1

当a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0.当0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0

【设计意图】通过回顾上节课的知识，帮助学生巩固已学内容，为学习新知识做好衔接。

【教学建议】教师可以通过提问的方式，引导学生回顾知识，同时关注学生的回答情况，及时纠正错误。

课堂导入1：水质检测员的pH值调节任务

某市自来水厂需要将出厂水的pH值控制在7.2-7.8的合格范围内。检测员在一次水质抽样中，测得水中氢离子浓度c(H+

请计算此时水样的pH值，判断是否符合合格标准；

若不符合标准，需添加碱性物质降低氢离子浓度。若要将pH值调整到7.5，求调整后水中氢离子浓度c(

结合对数函数的单调性，说明“pH值每升高0.1，氢离子浓度如何变化”，为检测员制定调节方案提供理论依据。

设计意图

贴合生活实际：以自来水厂水质检测为背景，让学生感受到对数函数在公共卫生领域的实际应用，打破“数学抽象难用”的刻板印象，体会知识的实用价值。

统领课堂核心知识：问题覆盖对数函数的实际模型（pH值公式pH=-lgc(H+

激发求知欲：问题设置“判断合格性→计算调整目标→推导变化规律”的递进式任务，从“解决具体问题”到“总结通用方法”，引导学生主动思考“如何用对数知识解决实际调节问题”，激发探索对数函数单调性与数据变化关系的兴趣。

课堂导入2：手机电量的“对数衰减”之谜

某品牌手机的电量显示遵循特定规律：当手机开始耗电后，实际剩余电量Q（单位：%）与使用时间t（单位：h）的关系可近似表示为Q=100-

刚充满电时（t=0），手机显示的电量是多少？使用2

当手机电量显示为55%时，已经使用了多长时间？

结合对数函数的单调性，分析“使用时间越长，电量下降速度越快还是越慢”，并解释为什么手机前1小时耗电快、后期耗电速度会减缓。

设计意图

贴近学生生活：以学生日常使用的手机电量为切入点，场景熟悉且具有共鸣感，能快速吸引学生注意力，让学生意识到“平时忽略的电量变化，背后藏着对数函数的规律”。

统领课堂知识体系：问题既涉及对数函数的求值运算、解方程（已知Q求t），又需要利用单调性分析函数变化趋势，同时可通过“已知时间求电量”与“已知电量求时间”的互逆过程，为反函数概念的引入铺垫现实背景，实现“性质应用→实际建模→反函数理解”的连贯教学。

激发探索欲：问题第3问针对学生“手机前1小时耗电快”的生活体验，引导学生用对数函数单调性解释这一现象，将“生活疑问”与“数学知识”关联，促使学生主动探究对数函数的变化特征，培养“用数学眼光观察生活”的思维习惯。

探究点1：解对数不等式

例4溶液酸碱度的测量．

溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．

（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

（2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的pH．

解：（1）根据对数的运算性质，有，在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即pH减小，所以，随着的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．

（2）当时，．所以，纯净水的pH是7．

胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，胃酸的pH是多少？

【变式】在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物