2026高一数学同步5.1 5.1.1 任意角 （导学案）（原卷版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.1.1任意角导学案

1.了解任意角的概念；

2.掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念；

3.掌握终边相同的角的表示方法；

4.会判断角所在的象限。

教学重点：1.任意角的概念，象限角的表示；2.掌握终边相同角的含义及表示方法．

教学难点：1.用集合符号表示终边相同的角；2.终边相同角的表示，区间角的集合书写。

知识点一角的相关概念

(1)角的概念

角可以看成着它的旋转所成的图形．

(2)角的表示

如图，①始边：射线的位置OA；

②终边：射线的位置OB；

③顶点：射线的端点O；

④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以简记成“α”．

(3)角的分类

名称

定义

图形

正角

一条射线绕其端点按方向旋转形成的角

负角

一条射线绕其端点按方向旋转形成的角

零角

一条射线没有做旋转形成的角

[点拨]对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字：

(1)要明确旋转方向；(2)要明确旋转量；(3)要明确射线未作旋转时的位置．

知识点二角的相等与加减

(1)角的相等

设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的且，那么就称α＝β.

(2)角的加法

设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是．

(3)相反角

把射线OA绕按不同方向旋转成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.

(4)角的减法

角的减法可以转化为角的加法，有α－β＝α＋(－β)．

知识点三平面直角坐标系中的任意角

条件

在直角坐标系中，角的顶点与重合，角的始边与x轴的重合

象限角

角的在第几象限，就说这个角是第几象限角

轴线角

角的终边在上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角

终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个的和

导入1：生活情境——“调钟表”

教师展示手机慢5分钟的截图，提问：

“把分针拨快5分钟，分针旋转了多少度？方向如何？”

学生用手比划后，教师给出“顺时针、负角”关键词，引出正负角必要。

导入2：热点情境——“跳水全红婵转体”

播放10秒视频：全红婵“207C”（向后翻腾3周半抱膝）。

教师定格画面：“翻腾3周半”对应角多少度？方向？

学生脱口而出“360°×3.5=1260°，顺时针为负”。

教师顺势板书：-1260°，追问：与-1260°终边相同的角还有哪些？

探究点1任意角的定义与正负规定（8min）

教师用可旋转激光笔演示：

逆时针410°、顺时针270°、不旋转。

学生归纳：逆时针→正，顺时针→负，不旋转→零。

快问快答：

(1)时针从12走到3，角＝？

(2)分针倒拨20分钟，角＝？

同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°～360°范围的角，而且旋转的方向也不相同．为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围．

问题1在初中是如何定义角的？角的范围是多少？

圆周运动是一种常见的周期性变化现象．如图5.1-1，上的点以为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点的位置变化呢？

我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．在图5.5-1中，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线，分别是角的始边和终边．当角确定时，终边的位置就确定了．这时，射线与的交点也就确定了．由此想到，可以借助角的大小变化刻画点的位置变化．

由初中知识可知，射线绕端点按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到范围内的角．如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了．所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围．

现实生活中随处可见超出范围的角．例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，图5.1-2是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反