专题24.5 点和圆的位置关系（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练（解析版）.docx

专题24.5点和圆的位置关系

目录

TOC\o1-2\h\u一．知识梳理与题型分类精析 1

【知识点一】点和圆的位置关系 1

【题型1】判断点和圆的位置关系 1

【题型2】已知点和圆的位置关系求半径 3

【知识点二】圆的确定 5

【题型3】外接圆相关概念辨析 5

【题型4】求三角形外心坐标 7

【知识点三】三角形外心位置 10

【题型5】三角形外心位置判断三角形形状 10

【题型6】判断三角形外接圆圆心位置 11

【知识点四】反证法 13

【题型7】反证法证明中的假设 13

【题型8】反证法证明命题 15

【题型9】举反例 18

二.同步练习? 19

2625【基础巩固（16题）】 19

【能力提升（16题）】 29

知识梳理与题型分类精析

【知识点一】点和圆的位置关系

设的半径为，点到圆心的距离，则有

点在圆外；点在圆上；点在圆内.

【题型1】判断点和圆的位置关系

【例题1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系．

【答案】点P在内

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系两个知识点；先由一元二次方程根的判别式确定出m的范围，再与半径比较即可判断点与圆的位置关系．

解：∵m使关于x的方程有两个不相等的实数根，

∴，

解得：，

∵圆的半径为2，

∴点P在内．

【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）中，，，，于D点，以C为圆心，2.5为半径作，则D点与圆的位置关系是（?????）

A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理解三角形，以及点与圆的位置关系，解决本题的关键是求解出的长度．

比较点D到圆心C的距离与圆的半径2.5的大小关系即可判断位置．

解：在中，由勾股定理得：

，

∵，

又∵，

∴，解得，

∵圆的半径为2.5，而，

∴点D到圆心C的距离小于半径，故点D在内．

故选：C．

【变式2】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）若以边长为1的正方形的顶点A为圆心，以为半径作，则点C在（填“外”“上”或“内”）．

【答案】上

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理.

根据题意画出图形，由勾股定理求出的长，进而可得出结论．

解：如图所示，

∵正方形的边长为1，

∴，

∵圆A的半径为，

∴点C在上．

故答案为：上．

【题型2】已知点和圆的位置关系求半径

【例题2】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（???）

A．6 B．2 C．2或3 D．4或6

【答案】C

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离．

解：分为两种情况：

①当点在圆内时，如图1，

∵点到圆上的最小距离，最大距离，

∴直径，

即半径为3；

②当点在圆外时，如图2，

∵点到圆上的最小距离，最大距离，

∴直径，

即半径为2．

故选：C．

【变式1】（23-24九年级上·广东广州·期末）如果的直径为，且点在上，则．

【答案】

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点和圆的位置关系即可求解，解题的关键是正确理解：点和圆心的距离为半径为，点在外，则，点在上，则，点在内，则．

解：如图：

∵点在上，

∴为半径，

∴，

故答案为：．

【变式2】（22-23九年级上·河北邯郸·期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？

【答案】到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域

【分析】先根据题意求出的长度，再根据时间=路程÷速度可得答案．

解：如图，

∵，

∴，

由，

知到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域

【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

【知识点二】圆的确定

不在同一直线上的三个点确定一个圆．

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，这个交点叫做这个三角形的外心.

【题型3】外接圆相关概念辨析

【例题3】（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外