专题24.6 直线和圆的位置关系（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练（解析版）.docx

专题24.6直线和圆的位置关系

目录

TOC\o1-2\h\u一．知识梳理与题型分类精析 1

【知识点一】直线和圆的位置关系 1

【题型1】判断直线和圆的位置关系 2

【题型2】已知直线和圆的位置求值 3

【知识点二】切线的判定定理 6

【题型3】切线的证明 6

【知识点三】切线的性质定理 7

【题型4】切线的性质 8

【题型5】切线的性质与判定综合 12

【知识点四】切线长定理 15

【题型6】利用切线长定理求值 16

【题型7】利用切线长定理证明 18

【知识点五】圆外切四边形性质 21

【题型8】圆的外切四边形 21

【知识点六】三角形的内切圆 23

【题型9】特殊三角形的内切圆 24

【题型10】一般三角形的内切圆 27

二.同步练习 29

【基础巩固（16题）】 29

【能力提升（16题）】 44

知识梳理与题型分类精析

【知识点一】直线和圆的位置关系

（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

根据直线和圆相交、相切、相离的定义,容易得到:

即：直线和⊙O相交；

直线和⊙O相切；

直线和⊙O相离；

【题型1】判断直线和圆的位置关系

【例题1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是．

【答案】相交

【分析】本题考查根的判别式，判断直线和圆的位置关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．通过方程无实数根的条件，利用判别式得到d与r的关系，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系即可．

解：∵方程无实数根，

∴，即．

∵圆心到直线的距离小于半径，

∴直线与相交．

故答案为：相交．

【变式1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，的半径为2，直线与相切，若某一条直线上存在点到圆心O的距离为，则这条直线是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．

解：∵的半径是2，圆心O到直线l的距离是，，

∴直线与相交．

故选：B．

【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：是的切线．

【答案】见分析

【分析】本题考查的是角平分线的性质，切线的判定有关知识，过点O作，垂足为点，根据角平分线性质定理可得，从而可知为的切线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．

解：证明：过点O作，垂足为点，如图，

∴，

∵，

∴，

∵是的角平分线，

∴，

∴是的切线．

【题型2】已知直线和圆的位置求值

【例题2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为．

【答案】或或

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数的图象与性质，由题意可得点的纵坐标为，分两种情况求解即可．

解：∵与轴相切，的半径为3，

∴点到轴的距离为，

∴点的纵坐标为，

当时，，

解得：或，

此时的坐标为或，

当时，，

解得：，

此时的坐标为，

综上所述，圆心的坐标为或或，

故答案为：或或．

【变式1】（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理．根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相离得到，最后利用等面积法求解，即可解题．

解：根据题意画图如下，

过点作于点，

，，，

，

以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相离，

，

，

解得，

故选：C．

【变式2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系．

【答案】当时，与射线没有公共点；当或时，与射线只有一个公共点；当时，与射线有两个公共点

【分析】此题考查了直线与圆的交点个数问题．作于点N，求出，分情况讨论求解即可．

解：作于点N，如图，

∵，

∴，

∴当时，与射线OA只有一个公共点；

当时，与射线OA没有公共点；

当时，与射线OA有两个公共点；

当时，与射线OA只有一个公共点．

∴当时，与射线OA没有公共点；当或时，与射线OA只有一个公