形如函数y=ln(x+a)+x.x+b的性质解析及图像示意图画法步骤A4.docVIP

函数y=ln(10x+1)+eq\f(2x,x+32)的性质及图像示意图

主要内容：

本文通过导数知识，解析函数y=ln(10x+1)+eq\f(2x,x+32)的单调性、凸凹性等函数性质，并简要画出函数图像示意图。

主要步骤：

※.函数的定义域

根据函数特征，对于对数部分有10x+1＞0，则：

x＞-eq\f(1,10)≈-0.10,

对于分数函数部分有1x+32≠0，则：

x≠-32,

综合以上函数的定义域为(-eq\f(1,10),+∞)。

※.函数的单调性

本处有函数的导数知识来解析，步骤如下：

y=1ln(10x+1)+eq\f(2x,x+32)，对x求一阶导数有：

eq\f(dy,dx)=eq\f(10,10x+1)+eq\f(2(x+32-x),(x+32)2)=eq\f(10,10x+1)+eq\f(64,(x+32)2),

因为10x+1＞0，(x+32)2＞0，所以:

eq\f(dy,dx)=eq\f(10,10x+1)+eq\f(64,(x+32)2)＞0，

则函数y在定义上为增函数。

※.函数的凸凹性

本处使用二次导数来解析函数的凸凹性，对一阶导数求导有：

eq\f(d2y,dx2)=-eq\f(100,(10x+1)2)-eq\f(64*2(x+32),(x+32)4)=-eq\f(100,(10x+1)2)-eq\f(128,(x+32)3),

=-eq\f(4[25(x+32)3+32(10x+1)2],(10x+1)2(x+32)3),

当x＞-eq\f(1,10)时x+32=-0.10+32≈31.900,

所以eq\f(d2y,dx2)＜0，即函数为凸函数。

※.函数的五点图

x

-0.05

0

0.05

0.10

0.15

ln(10x+1)

-0.69

0

0.41

0.69

0.92

2x

-0.10

0

0.10

0.20

0.30

x+32

31.95

32

32.05

32.10

32.15

y

-0.69

0

0.41

0.70

0.93

※.函数的示意图

y=1ln(10x+1)+eq\f(2x,x+32)

y

(0.15,0.93)

(0.10,0.70)

(0.05,0.41)

(0.00,0.00)

ox

(-0.05,-0.69)