形如函数y=ln(x+a)+x.x+b的性质解析及图像示意图画法步骤A2.docVIP

函数y=ln(4x+1)+eq\f(x,x+13)的性质及图像示意图

主要内容：

本文通过导数知识，解析函数y=ln(4x+1)+eq\f(x,x+13)的单调性、凸凹性等函数性质，并简要画出函数图像示意图。

主要步骤：

※.函数的定义域

根据函数特征，对于对数部分有4x+1＞0，则：

x＞-eq\f(1,4)=-0.25,

对于分数函数部分有x+13≠0，则：

x≠-13,

综合以上函数的定义域为(-eq\f(1,4),+∞)。

※.函数的单调性

本处有函数的导数知识来解析，步骤如下：

y=1ln(4x+1)+eq\f(x,x+13)，对x求一阶导数有：

eq\f(dy,dx)=eq\f(4,4x+1)+eq\f(x+13-x,(x+13)2)=eq\f(4,4x+1)+eq\f(13,(x+13)2),

因为4x+1＞0，(1x+13)2＞0，所以:

eq\f(dy,dx)=eq\f(4,4x+1)+eq\f(13,(x+13)2)＞0，

则函数y在定义上为增函数。

※.函数的凸凹性

本处使用二次导数来解析函数的凸凹性，对一阶导数求导有：

eq\f(d2y,dx2)=-eq\f(16,(4x+1)2)-eq\f(13*2(x+13),(x+13)4)=-eq\f(16,(4x+1)2)-eq\f(26,(x+13)3),

=-eq\f(2[8(x+13)3+13(4x+1)2],(4x+1)2(x+13)3),

当x＞-eq\f(1,4)时x+13=-0.25+13≈12.750,

所以eq\f(d2y,dx2)＜0，即函数为凸函数。

※.函数的五点图

x

-0.13

0

0.13

0.25

0.38

ln(4x+1)

-0.73

0

0.42

0.69

0.92

x+13

12.87

13

13.13

13.25

13.38

y

-0.74

0

0.43

0.71

0.95

※.函数的示意图

y=ln(4x+1)+eq\f(x,x+13)

y

(0.38,0.95)

(0.25,0.71)

(0.13,0.43)

ox

(-0.13,-0.74)