形如函数y=ln(x+a)+x.x+b的性质解析及图像示意图画法步骤A7.docVIP

函数y=ln(17x+1)+eq\f(2x,x+25)的性质及图像示意图

主要内容：

本文通过导数知识，解析函数y=ln(17x+1)+eq\f(2x,x+25)的单调性、凸凹性等函数性质，并简要画出函数图像示意图。

主要步骤：

※.函数的定义域

根据函数特征，对于对数部分有17x+1＞0，则：

x＞-eq\f(1,17)≈-0.06,

对于分数函数部分有1x+25≠0，则：

x≠-25,

综合以上函数的定义域为(-eq\f(1,17),+∞)。

※.函数的单调性

本处有函数的导数知识来解析，步骤如下：

y=ln(17x+1)+eq\f(2x,x+25)，对x求一阶导数有：

eq\f(dy,dx)=eq\f(17,17x+1)+eq\f(2(x+25-x),(x+25)2)=eq\f(17,17x+1)+eq\f(50,(x+25)2),

因为17x+1＞0，(x+25)2＞0，所以:

eq\f(dy,dx)=eq\f(17,17x+1)+eq\f(50,(x+25)2)＞0，

则函数y在定义上为增函数。

※.函数的凸凹性

本处使用二次导数来解析函数的凸凹性，对一阶导数求导有：

eq\f(d2y,dx2)=-eq\f(289,(17x+1)2)-eq\f(50*2(x+25),(x+25)4)=-eq\f(289,(17x+1)2)-eq\f(100,(x+25)3),

=-eq\f([289(x+25)3+100(17x+1)2],(17x+1)2(x+25)3),

当x＞-eq\f(1,17)时x+25=-0.06+25≈24.940,

所以eq\f(d2y,dx2)＜0，即函数为凸函数。

※.函数的五点图

x

-0.03

0

0.03

0.06

0.09

ln(17x+1)

-0.71

0

0.41

0.70

0.93

2x

-0.06

0

0.06

0.12

0.18

(x+25)

24.97

25

25.03

25.06

25.09

y

-0.71

0

0.41

0.70

0.94

※.函数的示意图

y=ln(17x+1)+eq\f(2x,x+25)

y

(0.09,0.94)

(0.06,0.70)

(0.03,0.41)

ox

(-0.03,-0.71)