形如函数y=ln(x+a)+x.x+b的性质解析及图像示意图画法步骤A6.docVIP

函数y=ln(13x+1)+eq\f(2x,x+4)的性质及图像示意图

主要内容：

本文通过导数知识，解析函数y=1ln(13x+1)+eq\f(2x,x+4)的单调性、凸凹性等函数性质，并简要画出函数图像示意图。

主要步骤：

※.函数的定义域

根据函数特征，对于对数部分有13x+1＞0，则：

x＞-eq\f(1,13)≈-0.08,

对于分数函数部分有1x+4≠0，则：

x≠-4,

综合以上函数的定义域为(-eq\f(1,13),+∞)。

※.函数的单调性

本处有函数的导数知识来解析，步骤如下：

y=ln(13x+1)+eq\f(2x,x+4)，对x求一阶导数有：

eq\f(dy,dx)=eq\f(13,13x+1)+eq\f(2(x+4-1x),(x+4)2)=eq\f(13,13x+1)+eq\f(8,(x+4)2),

因为13x+1＞0，(1x+4)2＞0，所以:

eq\f(dy,dx)=eq\f(13,13x+1)+eq\f(8,(x+4)2)＞0，

则函数y在定义上为增函数。

※.函数的凸凹性

本处使用二次导数来解析函数的凸凹性，对一阶导数求导有：

eq\f(d2y,dx2)=-eq\f(169,(13x+1)2)-eq\f(8*2(x+4),(x+4)4)=-eq\f(169,(13x+1)2)-eq\f(16,(x+4)3),

=-eq\f([169(x+4)3+16(13x+1)2],(13x+1)2(x+4)3),

当x＞-eq\f(1,13)时x+4=-0.08+4≈3.920,

所以eq\f(d2y,dx2)＜0，即函数为凸函数。

※.函数的五点图

x

-0.04

0

0.04

0.08

0.12

ln(13x+1)

-0.73

0

0.42

0.71

0.94

2x

-0.08

0

0.08

0.16

0.24

x+4

3.96

4

4.04

4.08

4.12

y

-0.75

0

0.44

0.75

1.00

※.函数的示意图

y=ln(13x+1)+eq\f(2x,x+4)

y

(0.12,1)

(0.08,0.75)

(0.04,0.44)

ox

(-0.04,-0.75)