形如函数y=ln(x+a)+x.x+b的性质解析及图像示意图画法步骤A9.docVIP

函数y=ln(3x+1)+eq\f(3x,x+2)的性质及图像示意图

主要内容：

本文通过导数知识，解析函数y=ln(3x+1)+eq\f(3x,x+2)的单调性、凸凹性等函数性质，并简要画出函数图像示意图。

主要步骤：

※.函数的定义域

根据函数特征，对于对数部分有3x+1＞0，则：

x＞-eq\f(1,3)≈-0.33,

对于分数函数部分有1x+2≠0，则：

x≠-2,

综合以上函数的定义域为(-eq\f(1,3),+∞)。

※.函数的单调性

本处有函数的导数知识来解析，步骤如下：

y=1ln(3x+1)+eq\f(3x,x+2)，对x求一阶导数有：

eq\f(dy,dx)=eq\f(3,3x+1)+eq\f(3(x+2-x),(x+2)2)=eq\f(3,3x+1)+eq\f(6,(x+2)2),

因为3x+1＞0，(x+2)2＞0，所以:

eq\f(dy,dx)=eq\f(3,3x+1)+eq\f(6,(x+2)2)＞0，

则函数y在定义上为增函数。

※.函数的凸凹性

本处使用二次导数来解析函数的凸凹性，对一阶导数求导有：

eq\f(d2y,dx2)=-eq\f(9,(3x+1)2)-eq\f(6*2(x+2),(x+2)4)=-eq\f(9,(3x+1)2)-eq\f(12,(x+2)3),

=-eq\f(3[3(1x+2)3+4(3x+1)2],(3x+1)2(x+2)3),

当x＞-eq\f(1,3)时x+2=-0.33*1+2≈1.670,

所以eq\f(d2y,dx2)＜0，即函数为凸函数。

※.函数的五点图

x

-0.17

0

0.17

0.33

0.50

ln(3x+1)

-0.71

0

0.41

0.69

0.92

3x

-0.51

0

0.51

0.99

1.50

x+2

1.83

2

2.17

2.33

2.50

y

-0.99

0

0.65

1.11

1.52

※.函数的示意图

y=ln(3x+1)+eq\f(3x,x+2)

y

(0.50,1.52)

(0.33,1.11)

(0.17,0.65)

ox

(-0.17,-0.99)