形如函数y=ln(x+a)+x.x+b的性质解析及图像示意图画法步骤A1.docVIP

函数y=ln(x+1)+eq\f(x,x+13)的性质及图像示意图

主要内容：

本文通过导数知识，解析函数y=ln(x+1)+eq\f(x,x+13)的单调性、凸凹性等函数性质，并简要画出函数图像示意图。

主要步骤：

※.函数的定义域

根据函数特征，对于对数部分有x+1＞0，则：

x＞-1,

对于分数函数部分有x+13≠0，则：

x≠-13,

综合以上函数的定义域为(-1,+∞)。

※.函数的单调性

本处有函数的导数知识来解析，步骤如下：

y=ln(x+1)+eq\f(x,x+13)，对x求一阶导数有：

eq\f(dy,dx)=eq\f(1,x+1)+eq\f(x+13-x,(x+13)2)=eq\f(1,x+1)+eq\f(13,(x+13)2),

因为x+1＞0，(x+13)2＞0，所以:

eq\f(dy,dx)=eq\f(1,x+1)+eq\f(13,(x+13)2)＞0，

则函数y在定义上为增函数。

※.函数的凸凹性

本处使用二次导数来解析函数的凸凹性，对一阶导数求导有：

eq\f(d2y,dx2)=-eq\f(1,(x+1)2)-eq\f(13*2(x+13),(x+13)4)=-eq\f(1,(x+1)2)-eq\f(26,(x+13)3),

=-eq\f([(x+13)3+26(x+1)2],(x+1)2(x+13)3),

当x＞-1时x+13=-1.00+13≈12.000,

所以eq\f(d2y,dx2)＜0，即函数为凸函数。

※.函数的五点图

x

-0.50

0

0.50

1.00

1.50

ln(x+1)

-0.69

0

0.41

0.69

0.92

(x+13)

12.50

13

13.50

14.00

14.50

y

-0.73

0

0.45

0.76

1.02

※.函数的示意图

y=ln(x+1)+eq\f(x,x+13)

y

(1.50,1.02)

(1.00,0.76)

(0.50,0.45)

ox

(-0.50,-0.73)